Question

Обчисліть площу фігури обмеженої лініями:1) y=3-2x-x^2 і 2)x+y=1​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle S=\int\limits^1_{-2} {(-x^2-x+2)} \, dx =-\frac{x^3}{3} \bigg |_{-2}^1-\frac{x^2}{2} \bigg |_{-2}^1 +2x \bigg |_{-2}^1=\frac{21}{2}$

Answer 2

Для обчислення площі фігури, обмеженої двома функціями $y = 3 - 2x - x^2$ та $x + y = 1$, спочатку знайдемо точки їх перетину.

1. Знайдемо точки перетину функцій: Спільна точка між $y = 3 - 2x - x^2$ та $x + y = 1$ задовольняє систему рівнянь: $3 - 2x - x^2 = 1 - x.$ Розв'яжемо цю систему: $x^2 - x - 2 = 0.$ Розкладемо квадратне рівняння: $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) = 0.$ Знаходимо дві точки перетину: $x_1 = 2, \quad x_2 = -1.$

Тепер знайдемо відповідні значення $y$ для кожної точки перетину:

1. При $x = 2$, $y = 3 - 2 \times 2 - 2^2 = -5$.
2. При $x = -1$, $y = 3 - 2 \times (-1) - (-1)^2 = 0$.

Отже, точки перетину: $(2, -5)$ та $(-1, 0)$.

2. Щоб обчислити площу фігури обмеженої цими функціями, потрібно обчислити відстані між цими точками і знайти площу під графіком обох функцій від однієї точки перетину до іншої.

Обчислимо відстань між точками: $d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + ((-5) - 0)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}.$

Обчислимо площу фігури, використовуючи інтеграл від $y = 3 - 2x - x^2$ до $y = 1 - x$, від $x = -1$ до $x = 2$: $S = \int_{-1}^{2} [(1 - x) - (3 - 2x - x^2)] \, dx.$

Розрахунок інтегралу: $S = \int_{-1}^{2} (3x - x^2 - 2) \, dx = \left[\frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 - 2x\right]_{-1}^{2}.$

Підставляючи межі та обчислюючи, отримаємо: $S = \left[\frac{3}{2}(2^2) - \frac{1}{3}(2^3) - 2 \times 2\right] - \left[\frac{3}{2}(-1)^2 - \frac{1}{3}(-1)^3 - 2 \times (-1)\right].$

$S = \left[6 - \frac{8}{3} - 4\right] - \left[\frac{3}{2} - \frac{1}{3} + 2\right].$

$S = \frac{13}{6}.$

Отже, площа фігури обмеженої цими функціями складає $\frac{13}{6}$