Question

. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями:а) у = х²-6х+12, y=x+6б) y=x²-8х+20. y=2x-1​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

используем формулу

$\displaystyle S=\int\limits^{x_2}_{x_1} {(y_1-y_2)} \, dx$

a) у₂ = х²-6х+12, y₁=x+6

$\displaystyle S=\int\limits^6_1 {(-x^2+7x-6)} \, dx =-\frac{x^3}{3} \bigg |_1^6+\frac{7x^2}{2} \bigg |_1^6-6x\bigg |_1^6=-\frac{215}{3} +\frac{245}{2} -30=\frac{125}{6}$

б) y₂=x²-8х+20. y₁=2x-1​

$\displaystyle S=\int\limits^7_3 {(-x^2+10x-21)} \, dx =-\frac{x^3}{3}\bigg |_3^7+5x^2 \bigg |_3^7+21x\bigg |_3^7=-\frac{316}{3} +200-84=\frac{32}{3}$

Answer 2

Щоб знайти площу обмеженої фігури, необхідно визначити точки її перетину, які визначають кути обмеження. Згодом, використовуючи інтеграл, можна знайти площу між цими кривими.

a) Для функцій $y = x^2 - 6x + 12$ та $y = x + 6$, спочатку визначимо точки їх перетину:

$x^2 - 6x + 12 = x + 6$

Після спрощення отримаємо:

$x^2 - 7x + 6 = 0$

З цього рівняння, можна знайти значення $x$:

$(x - 1)(x - 6) = 0$

Отже, $x = 1$ або $x = 6$.

Тепер визначимо відповідні значення $y$:

Для $x = 1$: $y = 1 + 6 = 7$

Для $x = 6$: $y = 6 + 6 = 12$

Таким чином, точки перетину - (1, 7) та (6, 12).

b) Для функцій $y = x^2 - 8x + 20$ та $y = 2x - 1$, знову визначимо точки їх перетину:

$x^2 - 8x + 20 = 2x - 1$

Після спрощення отримаємо:

$x^2 - 10x + 21 = 0$

З цього рівняння, можна знайти значення $x$:

$(x - 3)(x - 7) = 0$

Отже, $x = 3$ або $x = 7$.

Тепер визначимо відповідні значення $y$:

Для $x = 3$: $y = 2 \cdot 3 - 1 = 5$

Для $x = 7$: $y = 2 \cdot 7 - 1 = 13$

Таким чином, точки перетину - (3, 5) та (7, 13).

Тепер, використовуючи інтеграл, знайдемо площу між цими кривими. У кожному випадку, площа буде обчислюватися як різниця між площею під першою кривою та площею під другою кривою:

a) Площа між $y = x^2 - 6x + 12$ та $y = x + 6$ від $x = 1$ до $x = 6$:

$S_a = \int_{1}^{6} (x^2 - 6x + 12 - (x + 6)) \, dx$

b) Площа між $y = x^2 - 8x + 20$ та $y = 2x - 1$ від $x = 3$ до $x = 7$:

$S_b = \int_{3}^{7} (x^2 - 8x + 20 - (2x - 1)) \, dx$

Ці інтеграли можна вирішити, щоб знайти значення площі обмеженої фігури для кожного випадку.