Question

Помогите решить неопределенный интеграл: sqrt(x)/(sqrt(x)+1)

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{ \sqrt{x} dx}{ \sqrt{x} + 1} \\ \\ \sqrt{x} + 1 = t \\ \sqrt{x} = t - 1 \\ \frac{1}{2 \sqrt{x} } dx = dt \\ dx = 2 \sqrt{x} dt = 2(t - 1)dt \\ \\ \int\limits \frac{(t - 1) \times 2(t - 1)dt}{t} = \\ = 2\int\limits \frac{t {}^{2} - 2 t + 1}{t} dt = 2\int\limits(t - 2 + \frac{1}{t}) dt = \\ = 2( \frac{ {t}^{2} }{2} - 2t + ln |t|) + c = \\ = {t}^{2} - 4 t + 2ln |t| + c = \\ = {( \sqrt{x} + 1) }^{2} - 4 (\sqrt{x} + 1) + 2ln | \sqrt{x} + 1 | + C= \\ = x + 2 \sqrt{x} + 1 - 4 \sqrt{x} - 4 + 2ln | \sqrt{x} + 1 | + C = \\ = x - 2 \sqrt{x} - 3 + 2ln | \sqrt{x} + 1| + C = \\ = x - 2 \sqrt{x} + 2ln | \sqrt{x} + 1 | + C$

Answer 2

Для решения данного интеграла предлагаю сделать замену переменной. Обозначим $u = \sqrt{x} + 1$, тогда $du = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx$. Мы видим, что в числителе у нас есть $\sqrt{x}dx$, поэтому замена $u = \sqrt{x} + 1$ кажется логичной.

Теперь заменим переменные в интеграле:

$$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}dx = 2\int \frac{u-1}{u} du = 2\int \left(1 - \frac{1}{u}\right) du.$$

Интегрируем:

$$2\left(u - \ln|u|\right) + C = 2\left(\sqrt{x} + 1 - \ln|\sqrt{x}+1|\right) + C.$$

Итак, неопределенный интеграл $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}dx$ равен:

$$2\left(\sqrt{x} + 1 - \ln|\sqrt{x}+1|\right) + C,$$

где $C$ - произвольная постоянная.