Question

Квадратное неравенство. Урок 1 Какое из чисел является решением квадратного неравенства 2x2 + 13x – 7 ≥ 0?

Answer 1

Ответ:

решением неравенства является любое число принадлежащее интервалам

(-∞; -7] ∪ [0.5; +∞)

Пошаговое объяснение:

2х² +13х -7 ≥ 0

можно решать методом интервалов, а можно логическими рассуждениями.

Однако, прежде всего решим уравнение.

2х² +13х -7 = 0

D = b² -4ac = 13^² +4*2*7 = 225

$\displaystyle x_1 = \frac{-b+\sqrt{D} }{2a} =\frac{-13+15}{4} = 0.5\\\\\\ x_2 = \frac{-b-\sqrt{D} }{2a} =\frac{-13-15}{4} = -7$

Теперь у нас есть два пути решения.

1. метод интервалов.

наносим точки х₁ и х₂ на числовую ось и смотрим, на каком интервале значение функции  ≥  0

Интервалы на рисунке.

Берем любое значение х из интервала (-∞; -7]

x = -10       2*(-10)² +(13)*(-10) -7  - ≥ 0  

x= -7          2*(-7)² +(13)*(-7) - 7 = 0

этот интервал - наше решение

интервал (-7; 0.5)

x = 0        2-0² +(-13)*0 - 7 ≤ 0 не подходит

интервал [0/5;  +∞)

x = 1          2*1² + 13*1 - 7 ≥ 0

x= 0.5       2*(0.5)² +13*0.5  -7 = 0

этот интервал так же наше решение

решение : x ∈ (-∞; -7] ∪ [0.5; +∞)

2. рассуждения

2х² +13х -7 = 0  - это парабола ветвями вверх (коэффициент

при х² >0)

x₁ = 0.5  и х₂ = -7 являются корнями уравнения, т.е. превращают уравнение в 0.

Следовательно неравенство  2х² +13х -7 ≥ 0 будет выполняться там, где график функции лежит выше оси абсцисс, включая точки пересечения графика с осью абсцисс.

ответ :  x ∈ (-∞; -7] ∪ [0.5; +∞)

Answer 2

Для решения квадратного неравенства 2x^2 + 13x - 7 ≥ 0, мы можем использовать метод интервалов. Сначала найдем корни этого квадратного уравнения, то есть значения x, при которых левая сторона равна нулю:

2x^2 + 13x - 7 = 0

Для нахождения корней можно воспользоваться квадратным уравнением или даже квадратным дискриминантом:

D = b^2 - 4ac,

где a = 2, b = 13 и c = -7. Тогда:

D = 13^2 - 4 * 2 * (-7) = 169 + 56 = 225.

D > 0, что означает, что у нас есть два корня:

x1 = (-b + √D) / (2a) = (-13 + √225) / (2 * 2) = (-13 + 15) / 4 = 2/4 = 1/2,

x2 = (-b - √D) / (2a) = (-13 - √225) / (2 * 2) = (-13 - 15) / 4 = -28/4 = -7.

Теперь у нас есть два корня: x1 = 1/2 и x2 = -7. Теперь нам нужно определить интервалы, в которых неравенство 2x^2 + 13x - 7 ≥ 0 выполняется.

Мы видим, что уравнение равно нулю в точках x = 1/2 и x = -7. Эти точки разбивают весь диапазон чисел x на три интервала: (-бесконечность, -7), (-7, 1/2), и (1/2, +бесконечность).

Теперь нам нужно проверить знак выражения 2x^2 + 13x - 7 внутри каждого из этих интервалов. Мы можем взять произвольную точку внутри каждого интервала и подставить ее в выражение:

1. Для интервала (-бесконечность, -7) возьмем x = -8: 2*(-8)^2 + 13*(-8) - 7 = 128 - 104 - 7 = 17 - 7 = 10. В этом интервале выражение положительное.

2. Для интервала (-7, 1/2) возьмем x = 0: 2*(0)^2 + 13*(0) - 7 = 0 - 0 - 7 = -7. В этом интервале выражение отрицательное.

3. Для интервала (1/2, +бесконечность) возьмем x = 1: 2*(1)^2 + 13*(1) - 7 = 2 + 13 - 7 = 15. В этом интервале выражение положительное.

Итак, квадратное неравенство 2x^2 + 13x - 7 ≥ 0 выполняется в интервалах (-бесконечность, -7) и (1/2, +бесконечность), а в интервале (-7, 1/2) оно не выполняется. Таким образом, решениями этого неравенства являются все значения x в интервалах (-бесконечность, -7) и (1/2, +бесконечность).