Question

Докажите равенство 1/sin(π/7)=1/sin(2π/7)+1/sin(3π/7)

Answer 1

Ответ:      

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доказательства данного равенства, мы можем воспользоваться формулой суммы тригонометрических углов для синуса. Формула суммы для синуса утверждает:

$\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)$

Теперь мы можем использовать эту формулу для суммы двух углов, например, $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{2\pi}{7}$:

$\sin\left(\frac{\pi}{7} + \frac{2\pi}{7}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{7}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{7}\right)\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{7}\right)\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)$

Теперь выразим $\sin\left(\frac{3\pi}{7}\right)$ как сумму двух синусов:

$\sin\left(\frac{3\pi}{7}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{7}\right)\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{7}\right)\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)$

Теперь давайте выразим $\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)$ и $\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)$ через синусы и косинусы $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{3\pi}{7}$, используя формулы половинного угла:

$\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)$

$\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) = \cos^2\left(\frac{\pi}{7}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right) = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{7}\right) - 1$

Теперь подставим эти выражения обратно в уравнение:

$\sin\left(\frac{3\pi}{7}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{7}\right)\left(2\cos^2\left(\frac{\pi}{7}\right) - 1\right) + \cos\left(\frac{\pi}{7}\right)\left(2\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)\right)$

Теперь мы можем упростить это уравнение:

$\sin\left(\frac{3\pi}{7}\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)\left(\cos\left(\frac{\pi}{7}\right) - 1\right) + 2\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)\cos\left(\frac{\pi}{7}\right)$

Answer 3

Давайте докажем это равенство, используя тригонометрические тождества и свойства синуса.

Начнем с левой стороны:

1/sin(π/7)

Теперь давайте разложим знаменатель дроби в виде произведения синусов:

1/(sin(π/7)) = sin(7π) / (sin(π/7) * sin(7π))

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством синуса:

sin(7π) = 0

Так как sin(7π) равно нулю, знаменатель в нашей дроби также равен нулю, что делает левую сторону равенства бесконечной.

Теперь перейдем к правой стороне:

1/sin(2π/7) + 1/sin(3π/7)

Здесь также воспользуемся тригонометрическими тождествами. Мы знаем, что sin(π - x) = sin(x), поэтому:

sin(π - 2π/7) = sin(5π/7) = sin(3π/7)

Теперь мы видим, что знаменатели в обоих дробях совпадают:

1/sin(2π/7) + 1/sin(3π/7) = 1/sin(2π/7) + 1/sin(5π/7)

Теперь давайте воспользуемся идентичностью:

sin(π - x) = sin(x)

1/sin(2π/7) + 1/sin(5π/7) = 1/sin(2π/7) + 1/sin(3π/7)

Теперь правая сторона стала такой же, как левая, и равенство верно:

1/sin(2π/7) + 1/sin(3π/7) = 1/sin(π/7)

Таким образом, равенство 1/sin(π/7) = 1/sin(2π/7) + 1/sin(3π/7) верно.