Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Выполнить рисунки. 1)y=x^2+2, y=x+4 2)y=x^2-2x, x=2, X=4, y=0 Даю 100 балов, заранее спасибо.

Answer 1

Ответ:

1.

рисунок1

$S= S_1 - S_2 = \int\limits^{ 2 } _ { - 1}((x + 4)dx - \int\limits^{ 2 } _ { - 1}( {x}^{2} + 2)dx = \\ = \int\limits^{ 2 } _ { - 1}(x + 4 - {x}^{2} - 2)dx = \int\limits^{ 2 } _ { - 1}( - {x}^{2} + x + 2)dx = \\ = ( - \frac{ {x}^{3} }{3} + \frac{ {x}^{2} }{2} + 2x) | ^{ 2 } _ { - 1} = \\ = - \frac{8}{3} + 2 + 4 - ( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2) = \\ = - 3 + 6 + 1.5 = 4.5$

2.

рисунок2

$S= \int\limits^{ 4 } _ {2}( {x}^{2} - 2x)dx = ( \frac{ {x}^{3} }{3} - {x}^{2} ) | ^{ 4} _ {2} = \\ = \frac{64}{3} - 16 - \frac{4}{3} + 4 = 20 - 12 = 8$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, нужно найти точки их пересечения и интегрировать разницу между ними. Давайте рассмотрим каждый случай по отдельности:

1. y = x^2 + 2 и y = x + 4: Сначала найдем точки их пересечения, приравняв уравнения:

x^2 + 2 = x + 4

Переносим все на одну сторону:

x^2 - x - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

(x - 2)(x + 1) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: x = 2 и x = -1.

Теперь мы можем найти соответствующие значения y:

Для x = 2: y = 2^2 + 2 = 6 Для x = -1: y = (-1)^2 + 2 = 3

Теперь у нас есть точки (2, 6) и (-1, 3), которые ограничивают фигуру.

Чтобы найти площадь между этими двумя кривыми, мы можем взять интеграл разницы между ними:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

где a и b - это границы интервала (x-координаты точек пересечения), f(x) - верхняя кривая (x^2 + 2), а g(x) - нижняя кривая (x + 4).

S = ∫[-1, 2] (x^2 + 2 - (x + 4)) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

S = ∫[-1, 2] (x^2 - x - 2) dx

S = [(1/3)x^3 - (1/2)x^2 - 2x] |[-1, 2]

S = [(1/3)(2)^3 - (1/2)(2)^2 - 2(2)] - [(1/3)(-1)^3 - (1/2)(-1)^2 - 2(-1)]

S = [8/3 - 2 - 4] - [-1/3 + 1/2 + 2]

S = (2/3) - (7/6) = 4/6 - 7/6 = -3/6 = -1/2

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 + 2 и y = x + 4, равна -1/2 квадратных единиц.

2. y = x^2 - 2x, x = 2, x = 4, y = 0: В этом случае фигура ограничена кривой y = x^2 - 2x и вертикальными линиями x = 2 и x = 4, а также осью x. Мы можем разбить эту фигуру на два треугольника и прямоугольник.

Сначала найдем точки пересечения кривой и вертикальных линий:

Для x = 2: y = (2)^2 - 2(2) = 4 - 4 = 0 Таким образом, точка пересечения (2, 0).

Для x = 4: y = (4)^2 - 2(4) = 16 - 8 = 8 Таким образом, точка пересечения (4, 8).

Теперь у нас есть точки (2, 0) и (4, 8), которые ограничивают фигуру.

1. Площадь прямоугольника между x = 2 и x = 4: S1 = (4 - 2) * 8 = 2 * 8 = 16 квадратных единиц.

2. Площадь треугольника под кривой от x = 2 до x = 4: S2 = (1/2) * (4 - 2) * 8 = 1 * 2 * 8 = 16 квадратных единиц.

Теперь сложим площади этих двух фигур:

S = S1 + S2 = 16 + 16 = 32 квадратных единиц.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой y = x^2 - 2x, вертикальными линиями x = 2 и x = 4, а также осью x, равна 32 квадратных единиц.