Question

На доске написано 27 различных целых чисел. Каждое число возвели либо в квадрат, либо в куб и результат записали вместо первоначального числа. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться записано на доске? Запишите решение и ответ. СРОЧНО​

Answer 1

Ответ:

13

Пошаговое объяснение:

Наверное, уже не срочно, но все же:

с учетом того, что возведение в четную степень противоположных чисел дает один и тот же результат (т.е. 5² = -5²), то выберем (27-1)/2=13 различных целых чисел. Добавим 13 противополжных им чисел. Возведем эти 26 чисел в квадрат. Получим 13 одинаковых (положительных) чисел. И добавим какое-либо 27 число, возведенное (для выполнения условия задачи) в куб.

Итого получили 13 одинаковых чисел.

Answer 2

Чтобы найти минимальное количество различных чисел, которые могли оказаться записанными на доске, давайте рассмотрим все возможные варианты возводения чисел в квадрат и куб и посмотрим, какие числа могут быть одинаковыми после этих операций.

Пусть у нас есть $n$ различных целых чисел. Когда каждое из них возводится в квадрат, получаем еще $n$ чисел. Когда каждое из исходных $n$ чисел возводится в куб, получаем еще $n$ чисел. Таким образом, у нас есть $3n$ чисел на доске после проведенных операций.

Теперь важно заметить, что каждое из исходных 27 чисел может принимать только два значения после операций (либо квадрат, либо куб), и каждое из них будет иметь свою уникальную пару (число в квадрате и число в кубе).

Таким образом, у нас есть $3n$ чисел, каждое из которых может быть одним из $2n$ уникальных значений (по два значения для каждого исходного числа). Чтобы найти минимальное количество уникальных чисел на доске, необходимо найти наименьшее значение $n$, при котором $3n \geq 2n$, что выполняется при $n \geq 0$.

Таким образом, минимальное количество различных чисел, которые могли оказаться записанными на доске, равно $n = 9$. После операций на доске могло оказаться 27 различных чисел.

Ответ: 27.