Question

На доске написано 18 различных целых чисел. Каждое число возвели либо в квадрат, пибо в куб и результат записали вместо первоначального числа. Какое наименьшееколичество различных чисел могло оказаться записано на доске?Запишите решение и ответ.​

Answer 1

Ответ:

6

Пошаговое объяснение:

18 написанных на доске чисел могут быть связаны не более чем по три. Поэтому среди 18 результатов возведения в степень хотя бы 6 должны быть различны.

Ровно 6 различных результатов можно получить, например, если возводить в квадрат числа +- 2 в степени 3 , +- 3 в степени 3 , ..., +- 7 в степени 3 , а в куб возводить числа +- 2 в степени 2 , +- 3 в степени 2 , ..., +- 7 в степени 2 . Всего получим 6 различных чисел: +- 2 в степени 6 , +- 3 в степени 6 , ...,+- 7 в степени 6 .

Ответ: 6.

Answer 2

Давайте рассмотрим возможные варианты преобразований чисел: каждое число может быть возведено в квадрат, в куб или оставлено без изменений.

Пусть у нас есть числа A и B такие, что A^2 = B^3. Если A и B различны, то это означает, что число A имеет как минимум два различных представления на доске (A^2 и B^3). Таким образом, чтобы минимизировать количество различных чисел, нужно, чтобы все числа на доске имели одинаковые представления в квадрате и в кубе.

Теперь посмотрим на наиболее маленькие числа, возведенные в квадрат и в куб: 1^2 = 1 2^2 = 4 3^2 = 9 2^3 = 8 3^3 = 27

Мы видим, что числа 1, 4, 8 и 27 являются различными. Если на доске было бы все эти числа, то мы имели бы минимальное количество различных чисел. Однако на доске записано только 18 чисел. Чтобы найти наименьшее количество различных чисел, мы можем взять множество из наименьших чисел, которые составляют 18 или менее различных чисел.

Возьмем следующие числа: 1^2 = 1 2^2 = 4 3^2 = 9 2^3 = 8

Это четыре различных числа, и мы не можем выбрать меньшее количество, чтобы составить 18 или менее различных чисел. Таким образом, наименьшее возможное количество различных чисел на доске составляет 4.

Ответ: 4