Question

Срочно!!! x^2(y+1)dx+(x^3-1)(y-1)dy=0 Нужно найти общие интеграллы в дифференциальном уравнении

Answer 1

Ответ: 1/3*ln/x³-1/+y-2*ln/y+1/=C.

Пошаговое объяснение:

Разделив уравнение на произведение (y+1)*(x³-1), получим уравнение x²*dx/(x³-1)+(y-1)*dy/(y+1)=0. Его можно переписать в виде: 1/3*d(x³-1)/(x³-1)+dy-2*d(y+1)/(y+1)=0. Интегрируя, находим: 1/3*ln/x³-1/+y-2*ln/y+1/=C, где C - произвольная постоянная.

Проверка: данное дифференциальное уравнение можно записать в виде dy/dx=x²*(y+1)/[(x³-1)*(1-y)]  (*). Пусть 1/3*ln/x³-1/+y-2*ln/y+1/=z, тогда из уравнения z=C следует dz=0. Но dz=z'x*dx+z'y*dy, где z'x и z'y - частные производные функции z по x и по y. Отсюда dy/dx=-z'x/x'y. Находим z'x=x²/(x³-1) и z'y=(y-1)/(y+1), отсюда z'x/z'y=x²*(y+1)/[(x³-1)*(y-1)] и тогда dy/dx=x²*(y+1)/[(x³-1)*(1-y)], что совпадает с (*). Значит, решение найдено верно.

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения смешанного типа, нужно найти такую функцию $F(x, y)$, что:

$\frac{\partial F}{\partial x} = x^2(y+1)$ $\frac{\partial F}{\partial y} = (x^3-1)(y-1)$

Интегрируя первое уравнение по $x$, получаем:

$F(x, y) = \frac{1}{3}x^3(y+1) + h(y)$

где $h(y)$ - произвольная функция только от $y$.

Теперь дифференцируем $F(x, y)$ по $y$ и сравниваем с вторым уравнением:

$\frac{\partial F}{\partial y} = x^3 + h'(y) = (x^3-1)(y-1)$

Отсюда видно, что $h'(y) = -y+1$ или $h(y) = -\frac{1}{2}y^2 + y + C$, где $C$ - константа интегрирования.

Таким образом, общий интеграл данного дифференциального уравнения имеет вид:

$\frac{1}{3}x^3(y+1) - \frac{1}{2}y^2 + y + C = 0$