Question

Найти общее решение уравнения: y'' = y'/x + x

Answer 1

Линейное ДУ 2го порядка с понижением порядка .

Замена1:

$y'= z(x )\\ y''= z'(x)$

$z '= \frac{z}{x} + x \\ z' - \frac{z}{x} = x$

Замена2:

$z = uv \\ z' = u'v + v'u \\ \\ u'v + v'u - \frac{uv}{x} = x \\ u'v + u(v' - \frac{v}{x} ) = x \\ \\ 1)v' - \frac{v}{x} = 0 \\ \frac{dv}{dv} = \frac{v}{x} \\ \int\limits \frac{dv}{v} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(v) = ln(x) \\ v = x \\ \\ 2)u'v = x \\ \frac{du}{dx} \times x = x \\ u = \int\limits dx = x + C_1 \\ \\ z = x(x + C_1) \\ z = {x}^{2} + C_1x \\ \\ y' = {x}^{2} + C_1x \\ y = \int\limits( {x}^{2} + C_1x)dx = \\ = \frac{ {x}^{3} }{3} + \frac{C_1 {x}^{2} }{2} + C_2$

общее решение

Answer 2

Для нахождения общего решения уравнения y'' = y'/x + x, давайте воспользуемся методом вариации постоянных. Этот метод позволяет нам найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка.

Сначала представим уравнение в стандартной форме: y'' - (1/x)y' - x = 0

Теперь предположим, что общее решение имеет вид y = v(x)*u(x), где v(x) - неизвестная функция, а u(x) - также неизвестная функция.

Тогда y' = v'u + vu' и y'' = v''u + 2v'u' + vu''. Подставим это в уравнение:

v''u + 2v'u' + vu' - (1/x)(v'u + vu') - xu = 0

Теперь упростим это уравнение:

v''u + 2v'u' + vu' - (1/x)v'u - (1/x)vu' - xu = 0

Теперь сгруппируем слагаемые:

v''u + (2u' - (1/x)u)v' + (u'' - (1/x)u')v - xu = 0

Теперь, чтобы уравнение выполнялось для любых функций v(x) и u(x), каждый коэффициент при v и u должен быть равен нулю:

1. v''u - xu = 0
2. 2u' - (1/x)u = 0
3. u'' - (1/x)u' = 0

Рассмотрим уравнение 2:

2u' - (1/x)u = 0

Это уравнение можно решить, используя метод разделения переменных. Переносим все слагаемые, связанные с u, на одну сторону:

2u' = (1/x)u

Теперь разделим переменные:

(2/u) du = (1/x) dx

Интегрируем обе стороны:

2∫(1/u) du = ∫(1/x) dx

2ln|u| = ln|x| + C1, где C1 - произвольная постоянная

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон:

|u|^2 = e^(ln|x| + C1) = e^(ln|x|) * e^C1 = C2 * |x|, где C2 - произвольная постоянная

Заметим, что |u| = √(u^2), поэтому можно переписать:

√(u^2) = C2 * |x|

Теперь, учитывая, что C2 может быть как положительной, так и отрицательной постоянной, получаем два случая:

1. u = C2 * x
2. u = -C2 * x

Теперь мы можем вернуться к уравнению 1:

v''u - xu = 0

И подставить в него оба значения u:

1. v''(C2 * x) - xu = 0
2. v''(-C2 * x) - xu = 0

Для каждого из этих уравнений, мы можем найти общее решение вида v(x) = A*x^2 + B, где A и B - произвольные постоянные.

Итак, общее решение исходного уравнения y'' = y'/x + x имеет вид:

1. y(x) = (A*x^2 + B) * C2 * x
2. y(x) = (A*x^2 + B) * (-C2 * x)

где A, B и C2 - произвольные постоянные.