Question

При каких значениях параметра p касательная к графику функции y=x^3−px в точке x0=3 проходит через точку M(5;21)?

Answer 1

Ответ:

p=12

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы касательная к графику функции $y = x^3 - px$ в точке $x_0 = 3$ проходила через точку $M(5, 21)$, необходимо, чтобы значение производной функции в точке $x_0 = 3$ (т.е., $y'$ при $x = 3$) было равно наклону касательной, проходящей через точку $M(5, 21)$.

Первоначально найдем производную функции $y = x^3 - px$: $y' = 3x^2 - p.$

Затем найдем значение производной в точке $x = 3$: $y'(3) = 3(3)^2 - p = 27 - p.$

Теперь, чтобы касательная проходила через точку $M(5, 21)$, ее наклон должен быть равен: $\frac{\text{изменение } y}{\text{изменение } x} = \frac{21 - (-px_0)}{5 - 3} = \frac{21 + 3p}{2}.$

Итак, чтобы касательная проходила через точку $M(5, 21)$, необходимо, чтобы $y'(3) = \frac{21 + 3p}{2}$: $27 - p = \frac{21 + 3p}{2}.$

Теперь решим это уравнение относительно $p$: $27 - p = \frac{21 + 3p}{2}.$

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей: $54 - 2p = 21 + 3p.$

Теперь перегруппируем переменные: $54 - 21 = 3p + 2p,$ $33 = 5p.$

Таким образом, значение параметра $p$ равно: $p = \frac{33}{5}.$