Question

Найдите минимальное число, имеющее сумму цифр 21, оканчивающееся на 11 и делящееся на 11

Answer 1

Ответ:

64911

Пошаговое объяснение:

Наше число не может быть 11, так как сумма цифр 2

Наше число не может быть трехзначным, так как если наше число $\overline{x11}$, то его сумма цифр $x+1+1$ максимум $9+1+1=11$

Наше число не может быть четырехзначным, так как если наше число $\overline{xy11}$, то его сумма цифр $x+y+1+1$ максимум $9+9+1+1=20$

Рассмотрим пятизначные числа

$\overline{xyz11}$

сумма цифр 21, т.е. $x+y+z+1+1=21$. Тогда $x+y+z=19$

Вспомним признак делимости на 11:

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места, делится на 11.

То есть число $\overline{xyz11}$ делится на 11 тогда и только тогда, когда $|(x+z+1)-(y+1)|$ делится на 11

$|(x+z+1)-(y+1)|~\vdots~11\\|(x+z+1-y-1)|~\vdots~11\\|(x+z-y)|~\vdots~11$

Начнем перебор значений этой разности

1.  $x+z-y = 0$

$\displaystyle \left \{ {{x+y+z=19} \atop {x+z=y}} \right. \\\\\left \{ {{x+y+z=19} \atop {x+z=y}} \right. \\\\\left \{ {{2y=19} \atop {x+z=y}}\right.\\\\y=\frac{19}2$

y - целое число. Противоречие. Продолжим перебор

2.  $x+z-y = 11$

$\displaystyle \left \{ {{x+y+z=19} \atop {x+z-y=11}} \right. \\\\\left \{ {{x+y+z=19} \atop {x+z=11+y}} \right.\\\\\left \{ {{11+y+y=19} \atop {x+z=11+y}} \right.\\\\\left \{ {{2y=8} \atop {x+z=11+y}} \right.\\\\\left \{ {{y=4} \atop {x+z=11+4}} \right.\\\\\left \{ {{y=4} \atop {x+z=15}} \right.$

Наименьшее значение числа $\overline{xyz11}$ будет тогда, когда будет наименьшее значение у первого разряда (х) при данных условиях.

Помним, что $0\le x\le9$ и $0\le z\le9$

Тогда наименьшее значение х это 6.

$x=6\\z=15-x=15-6=9$

Если бы х было бы хотя бы 5, то z было бы хотя бы 15-5=10, что противоречит условию $0\le z\le9$

Получили, что $x=6,~y=4,~z=9$, т.е. искомое число $64911$

Проверка:

$64911\\6+4+9+1+1=10+10+1=21\\64911=5901\cdot11$

Answer 2

Для того чтобы найти минимальное число, имеющее сумму цифр 21, оканчивающееся на 11 и делящееся на 11, мы можем пойти следующим путем:

1. Сумма цифр числа должна быть 21.
2. Число должно оканчиваться на 11, значит, предпоследние цифры должны образовывать число, оканчивающееся на 1.

Наименьшее число, удовлетворяющее этим условиям, можно найти методом подбора. Начнем с 111:

111: сумма цифр 1+1+1 = 3 (не удовлетворяет условию суммы цифр 21)

211: сумма цифр 2+1+1 = 4 (не удовлетворяет условию суммы цифр 21)

311: сумма цифр 3+1+1 = 5 (не удовлетворяет условию суммы цифр 21)

...

Как видно, числа до 999 не подходят под условия. Рассмотрим 1011:

1011: сумма цифр 1+0+1+1 = 3 (не удовлетворяет условию суммы цифр 21)

1111: сумма цифр 1+1+1+1 = 4 (не удовлетворяет условию суммы цифр 21)

1211: сумма цифр 1+2+1+1 = 5 (не удовлетворяет условию суммы цифр 21)

...

Как видно, числа до 1999 не подходят под условия. Рассмотрим 2009:

2009: сумма цифр 2+0+0+9 = 11 (удовлетворяет условию суммы цифр 21 и оканчивается на 11)

Проверим, делится ли 2009 на 11:

2009 / 11 = 182

Таким образом, минимальное число, имеющее сумму цифр 21, оканчивающееся на 11 и делящееся на 11, это 2009.