Question

ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ ОТДАЮ ВСЕ БАЛЛЫ Решить уравнение (хотя бы одно) 1)y'=√1-y^2 dx 2)xy'+y=y^2 3)√y sin^2xdx+dy=0

Answer 1

1.

$y '= \sqrt{1 - {y}^{2} } dx \\ \int\limits \frac{dy}{ \sqrt{1 - {y}^{2} } } =\int\limits dx \\ arcsiny = x + C$

общее решение

2.

$xy' + y = {y}^{2} \: \: \: | \div x \\ y' + \frac{y}{x} = \frac{ {y}^{2} }{x} \: \: \: \: | \div {y}^{2} \\ \frac{y'}{ {y}^{2} } + \frac{1}{yx} + \frac{1}{x} \\ \\ \frac{1}{y} = z \\ z'= - {y}^{ - 2} \times y'\\ \frac{y'}{ {y}^{2} } = - z' \\ \\ - z' + \frac{z}{x} = \frac{1}{x} \\z' - \frac{z}{x} = - \frac{1}{x} \\ \\ z = uv \\ z '= u'v + v'u \\ u'v + v'u - \frac{uv}{x} = - \frac{1}{x} \\ u'v + u(v' - \frac{v}{x} ) = - \frac{1}{x} \\ \\ 1)v' - \frac{v}{x} = 0 \\ \frac{dv}{dx} = \frac{v}{x} \\ \int\limits \frac{dv}{v} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(v) = ln(x) \\ v = x \\ \\ 2)u'v = - \frac{1}{x} \\ \frac{du}{dx} \times x = - \frac{1}{x} \\ u = - \int\limits\frac{dx}{ {x}^{2} } = \frac{1}{x} + C\\ \\ z = x( \frac{1}{x} + C)= Cx + 1 \\ \frac{1}{y} = Cx + 1 \\ y = \frac{1}{ Cx + 1}$

общее решение

3.

$\sqrt{y} \sin {}^{2} (x) dx + dy = 0 \\ y = - \sqrt{y} \sin {}^{2} (x) \\ \int\limits \frac{dy}{ \sqrt{y} } = - \int\limits\sin {}^{2} (x) dx \\ 2 \sqrt{y} = - \int\limits \frac{1 - \cos(2x) }{2} dx \\ 2 \sqrt{y} = - \frac{1}{2} (\int\limits \: dx - \frac{1}{2}\int\limits \cos(2x) d(2x)) \\ 2 \sqrt{y} = - \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin(2x) + C \\ \sqrt{y} = - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \sin(2x) + C$

общее решение

Answer 2

Давайте по очереди рассмотрим каждое уравнение и попробуем найти его решение.

1. Уравнение y' = √(1 - y^2) dx:

Сначала разделим дифференциальное уравнение на компоненты:

dy / √(1 - y^2) = dx

Теперь проведем интегрирование обеих сторон:

∫(1 / √(1 - y^2)) dy = ∫ dx

Выражение в левой части интеграла представляет собой арксинус (asin) от y:

asin(y) = x + C

Где C - константа интегрирования. Теперь можно выразить y:

y = sin(x + C)

2. Уравнение xy' + y = y^2:

Сначала выразим y' из уравнения:

y' = (y^2 - y) / x

Теперь это дифференциальное уравнение можно решить, разделив на компоненты:

dy / (y^2 - y) = dx / x

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(1 / (y^2 - y)) dy = ∫(1 / x) dx

Для левой стороны используем метод частных дробей:

∫(1 / (y^2 - y)) dy = ∫(1 / y - 1 / (y - 1)) dy

Теперь можем проинтегрировать:

∫(1 / y - 1 / (y - 1)) dy = ln|y| - ln|y - 1|

Для правой стороны просто интегрируем 1 / x:

∫(1 / x) dx = ln|x|

Теперь объединим обе стороны уравнения и добавим константу интегрирования:

ln|y| - ln|y - 1| = ln|x| + C

Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов:

ln|y/y - 1| = ln|x| + C

Теперь можно избавиться от логарифмов и получить:

|y / (y - 1)| = e^(C + ln|x|)

Теперь уберем модули:

y / (y - 1) = ± e^(C + ln|x|)

y / (y - 1) = ± e^(C) * |x|

Это решение в неявной форме.

3. √y sin^2(x) dx + dy = 0:

Сначала выразим dy:

dy = -√y sin^2(x) dx

Теперь разделим обе части на √y sin^2(x):

(1 / √y) dy = -dx

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(1 / √y) dy = -∫ dx

Это даст нам:

2√y = -x + C

Теперь избавимся от корня:

y = ((-x + C) / 2)^2

Таким образом, у нас есть явное решение:

y = ((-x + C) / 2)^2