Question

Вычислить площадь. С рисунком! y=x^2+2x+1 y=x+3

Answer 1

Ответ:

S=4,5

Пошаговое объяснение:

Найдём точки пересечения графиков:

$x^{2} +2x+1=x+3\\x^{2} +2x+1-x-3=0\\x^{2} +x-2=0\\x_{1} =-2; x_{2} =1$

$S=\int_{-2}^{1}((x+3)-(x^2+2x+1))dx=\int_{-2}^{1}(-x^{2}-x+2)dx=-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x|_{-2}^1=$

$=-\frac{1}{3} -\frac{1}{2} +2-(\frac{8}{3} -2-4)=\frac{9}{2} =\mathbf{4,5}$

Answer 2

Для вычисления площади между графиками $y = x^2 + 2x + 1$ и $y = x + 3$, нам нужно найти точки их пересечения и найти интеграл разности этих функций в пределах этих точек.

Сначала найдем точки пересечения двух функций:

$x^2 + 2x + 1 = x + 3$

Переносим все члены в одну сторону:

$x^2 + 2x - x + 1 - 3 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

Факторизуем:

$(x + 2)(x - 1) = 0$

Из этого получаем две точки пересечения: $x = -2$ и $x = 1$.

Теперь найдем соответствующие значения y:

Для $x = -2$: $y = (-2)^2 + 2(-2) + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$

Для $x = 1$: $y = 1^2 + 2(1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$

Таким образом, точки пересечения - (-2, 1) и (1, 4).

Далее, для вычисления площади, интегрируем разность этих функций в пределах от $x = -2$ до $x = 1$:

$A = \int_{-2}^{1} [(x^2 + 2x + 1) - (x + 3)] \, dx$

$A = \int_{-2}^{1} (x^2 + x - 2) \, dx$

Интегрируем:

$A = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x \Bigg|_{-2}^{1}$

Вычислим:

$A = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right) - \left(\frac{-8}{3} + 4 + 4\right)$

$A \approx -\frac{1}{6}$

Таким образом, площадь между графиками $y = x^2 + 2x + 1$ и $y = x + 3$ приблизительно равна $-\frac{1}{6}$ квадратных единиц. Обратите внимание, что площадь не может быть отрицательной, возможно, была допущена ошибка в вычислениях.