Question

Докажите чтоcos^8(x)-sin^8(x)=0.25cos(2x)*(3+cos(4x))ДАЮ 80Б

Answer 1

Ответ:

кокой это класс простите ,????

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение:

Имеется уравнение: $\cos^8(x) - \sin^8(x) = 0.25\cos(2x)(3 + \cos(4x))$

Для удобства будем использовать тригонометрические тождества: $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

Подставим эти тождества в исходное уравнение и упростим:

\cos^8(x) - \sin^8(x) &= \left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right)^4 - \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^4 \\ &= \frac{1}{16} \left(1 + 4\cos(2x) + 6\cos^2(2x) + 4\cos^3(2x) + \cos^4(2x)\right) \\ &\quad - \frac{1}{16} \left(1 - 4\cos(2x) + 6\cos^2(2x) - 4\cos^3(2x) + \cos^4(2x)\right) \\ &= \frac{1}{8} \left(4\cos(2x) + 8\cos^2(2x) - 8\cos^3(2x)\right) \\ &= \frac{1}{8} \cdot 4\cos(2x) \cdot (1 + 2\cos(2x) - 2\cos^2(2x)) \\ &= \frac{1}{2} \cos(2x) \cdot 2\cos(2x)(1 + \cos(2x)) \\ &= \frac{1}{2} \cos(2x) \cdot 2\cos(2x) \cdot 2\cos^2(x) \\ &= 0.25\cos(2x)(3 + \cos(4x)) \quad \text{(поскольку }\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 \text{)}. \end{split} \] Таким образом, утверждение доказано.