Question

Вычеслите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-2x-28,y=2x+20-x^2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

рисуем графики функций, определяем фигуру и пределы интегрирования

$\displaystyle S=\int\limits^6_{-4} {((-x^2x+2x+20)-(x^2-2x-28))} \, dx =\int\limits^6_{-4} {(-2x^2+4x+48)} \, dx =$

$\displaystyle = \bigg (-\frac{2x^3}{3} +2x^2+48x \bigg ) \bigg |_{-4}^6=-\frac{560}{3} +40+480= \frac{1000}{3}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения, которые определяют грани фигуры. Затем можно использовать определенный интеграл для вычисления площади между этими кривыми.

Давайте начнем с поиска точек пересечения кривых:

Уравнение 1: y = x^2 - 2x - 28 Уравнение 2: y = 2x + 20 - x^2

Для нахождения точек пересечения, приравняем уравнения:

x^2 - 2x - 28 = 2x + 20 - x^2

Теперь приведем все члены на одну сторону:

x^2 - 2x - 28 - 2x - 20 + x^2 = 0

2x^2 - 4x - 48 = 0

Деление на 2 упростит уравнение:

x^2 - 2x - 24 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью квадратного корня:

x^2 - 2x - 24 = 0

(x - 6)(x + 4) = 0

Таким образом, x = 6 и x = -4 - это точки пересечения кривых.

Теперь, чтобы найти y-координаты в этих точках, подставим x в одно из исходных уравнений, например, в уравнение 1:

y = (6)^2 - 2(6) - 28 y = 36 - 12 - 28 y = -4

Таким образом, точки пересечения кривых - это (6, -4) и (-4, -4).

Теперь мы можем найти площадь фигуры между этими двумя кривыми, используя интеграл:

S = ∫[a, b] |f(x) - g(x)| dx

где a и b - это x-координаты точек пересечения, f(x) и g(x) - уравнения кривых.

S = ∫[-4, 6] |(x^2 - 2x - 28) - (2x + 20 - x^2)| dx S = ∫[-4, 6] |x^2 - 2x - 28 - 2x - 20 + x^2| dx S = ∫[-4, 6] | -4x - 48| dx

Теперь вычислим этот интеграл:

S = ∫[-4, 6] 4x + 48 dx

S = [2x^2 + 48x] from -4 to 6

S = [2(6)^2 + 48(6)] - [2(-4)^2 + 48(-4)]

S = [72 + 288] - [32 - 192]

S = 360 - 160

S = 200

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 - 2x - 28 и y = 2x + 20 - x^2, равна 200 квадратным единицам.