Question

(x² +1)dy = ydx; решите пожалуйста подробно ,надо решить с помощью простого дифиринциального уравнения , решение с помощью photo mas не подходит ​

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

$\int\limits {1/ydy} =\int\limits {1/(x^{2} +1)} dx$

ln y =1/tg x +C

y= c1 *$e^{1/tg(x)}$

Answer 2

Давайте рассмотрим ваше дифференциальное уравнение:

(x² + 1)dy = ydx

Чтобы решить это уравнение, давайте сначала выразим dy/dx, чтобы преобразовать его в уравнение, содержащее только y и x:

dy/dx = (y/x² + 1)

Теперь мы можем решить это уравнение методом разделения переменных. Разделение переменных означает, что мы группируем все члены, содержащие y, на одной стороне уравнения, а все члены, содержащие x, на другой стороне. Ваше уравнение уже в этой форме, поэтому мы можем перейти к следующему шагу.

dy / (y/x² + 1) = dx

Теперь мы будем интегрировать обе стороны уравнения. Для левой стороны мы можем использовать замену переменных: u = y/x². Тогда du = (1/x²)dy. Это дает нам:

∫(1/(u + 1))du = ∫dx

Интегрируя обе стороны, получаем:

ln|u + 1| = x + C1

Теперь вернемся к исходным переменным, заменяя u на y/x²:

ln|y/x² + 1| = x + C1

Теперь давайте избавимся от натурального логарифма, возводя обе стороны в экспоненту:

|y/x² + 1| = e^(x + C1)

Затем учтем константу e^(C1) как новую константу C:

|y/x² + 1| = Ce^x

Теперь мы можем рассмотреть два случая для модуля (абсолютной величины):

1. y/x² + 1 = Ce^x
2. y/x² + 1 = -Ce^x

Рассмотрим оба случая.

1. y/x² + 1 = Ce^x Выразим y:

   y/x² = Ce^x - 1 y = x²(Ce^x - 1)

2. y/x² + 1 = -Ce^x Выразим y:

   y/x² = -Ce^x - 1 y = -x²(Ce^x + 1)

Итак, у вас есть два общих решения для данного дифференциального уравнения:

1. y = x²(Ce^x - 1)
2. y = -x²(Ce^x + 1)

Где C - произвольная константа, которую можно определить из начальных условий, если они предоставлены.