Question

(x² +1)dy = ydx; решите пожалуйста подробно ,надо решить с помощью простого дифиринциального уравнения ​

Answer 1

Ответ: ㏑|y| = arctg(x) + C

Пошаговое объяснение:

перенесём у в одну часть, х в другую

dy/y = dx/(x² + 1)

интегрируем обе части

$\int\limits {1/y} \, dy$ = $\int\limits {1/(x^{2} +1)} \, dx$

㏑|y| = arctg(x) + C

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение выглядит как уравнение, разделяющее переменные. Чтобы решить его, мы сначала разделим переменные, а затем проинтегрируем обе стороны уравнения. Ваше уравнение:

(x² + 1)dy = ydx

Для начала, давайте разделим переменные, перемещая все члены, содержащие "y", на одну сторону, а все члены, содержащие "x", на другую сторону:

dy / y = dx / (x² + 1)

Теперь мы готовы проинтегрировать обе стороны:

∫(1/y) dy = ∫(1 / (x² + 1)) dx

Интегрируем левую сторону по "y" и правую сторону по "x":

ln|y| = arctan(x) + C1

где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Чтобы избавиться от логарифма на левой стороне, применим экспоненту к обеим сторонам уравнения:

|y| = e^(arctan(x) + C1)

Теперь, используя свойства экспоненты и логарифма, мы можем переписать это уравнение следующим образом:

|y| = e^(C1) * e^(arctan(x))

Так как e^(C1) - это произвольная константа, обозначим ее как "C". Таким образом, наше решение будет:

|y| = C * e^(arctan(x))

Теперь рассмотрим два случая, когда y может быть положительным или отрицательным:

1. Если y положительное:

   y = C * e^(arctan(x))

2. Если y отрицательное:

   y = -C * e^(arctan(x))

Таким образом, мы получили общее решение данного дифференциального уравнения. Заметьте, что "C" - произвольная постоянная, которую нужно подобрать из начальных условий, если они даны.