Question

Даю 15 баллов~найди площадь фигуры, ограниченной линиями y=x², x=1, x=2 осью OX.​

Answer 1

Для лучшего восприятия надо начертить график функции и тогда сразу будет видно о какой фигуре идёт речь. Чтобы найти площадь фигуры ограниченной линиями необходимо вычислить интеграл от функции ограничивающей эту фигуру. В нашем случае это парабола ветви которой направлены вниз. Нас интересует фигура, ограниченная параболой и осью ОХ. Определяем пределы интегрирования. Это можно сделать
по чертежу: это точки пересечения параболу с осью ОХ х=-1 и х=1
и аналитически, решив уравнение:
1-x²=0
-x²=-1
x²=1
x=1 x=-1




Шаг 1: находим координаты х точек перечечения графиков y=x^2+1 и y=-x+3.
x^2+1 = -x+3; x^2+x-2 = 0; x1 = -2; x2 = 1.

Шаг 2: Находим определенный интеграл функции y = -x+3 в пределах от -2 до 1.

Первообразная этой функции будет Y = -1/2*x^2 + 3x + С

Подставляя пределы интегрирования получаем площадь под функцией S1 = -1/2 + 3 + 2 + 6 = 10,5.

Шаг 3: Находим определенный интеграл функции y = x^2+1 в пределах от -2 до 1.

Первообразная этой функции будет Y = 1/3*x^3 + x + С

Подставляя пределы интегрирования получаем площадь под функцией S2 = 1/3 + 1 + 8/3 +2 = 6.

Шаг 4: S = S1-S2; S = 10,5-6; S = 4,5

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y = x², x = 1, x = 2 и осью OX, вы можете использовать интеграл. Площадь этой фигуры будет равна определенному интегралу функции y = x² на отрезке [1, 2].

Интеграл для нахождения площади будет следующим:

$\int_{1}^{2} x^2 dx$

Вычислим этот интеграл:

$\int_{1}^{2} x^2 dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{1}^{2}$

Теперь подставим верхний и нижний пределы интеграла:

$\left[\frac{1}{3} \cdot 2^3\right] - \left[\frac{1}{3} \cdot 1^3\right] = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x², x = 1, x = 2 и осью OX, равна $\frac{7}{3}$ квадратных единиц (или $\frac{7}{3}$ квадратных унций, в зависимости от вашей системы измерений).