Question

Решить дифференциальное уравнение xy''+(2x-1)y'=-4x²

Answer 1

Ответ:

решение на фотографиях

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем воспользоваться методом вариации постоянных. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

xy'' + (2x - 1)y' = 0

Для этого уравнения характеристическое уравнение имеет вид:

r(r - 1) + (2x - 1)r = 0

r^2 - r + 2xr - r = 0

r^2 + 2xr = 0

r(r + 2x) = 0

Таким образом, у нас есть два корня: r₁ = 0 и r₂ = -2x. Общее решение однородного уравнения можно записать в виде:

y_h(x) = c₁ + c₂ * x^(-2x)

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения:

xy'' + (2x - 1)y' = -4x^2

Попробуем предположить, что частное решение имеет вид:

y_p(x) = a * x^m

где a и m - это некие константы, которые мы должны определить. Теперь вычислим производные:

y_p'(x) = a * m * x^(m-1) y_p''(x) = a * m * (m-1) * x^(m-2)

Подставим эти производные в исходное уравнение:

x * a * m * (m-1) * x^(m-2) + (2x - 1) * a * m * x^(m-1) = -4x^2

Далее, упростим уравнение, разделив обе стороны на a * x^m:

m * (m-1) + (2x - 1) * m = -4x

m^2 - m + 2xm - 2m - 4x = 0

m^2 + (2x - 3) * m - 4x = 0

Теперь, используя квадратное уравнение, найдем m:

m = [-B ± √(B^2 - 4AC)] / (2A)

где A = 1, B = 2x - 3 и C = -4x. Подставим значения и найдем m:

m = [-(2x - 3) ± √((2x - 3)^2 - 4 * 1 * (-4x))] / (2 * 1)

m = [-(2x - 3) ± √(4x^2 - 12x + 9 + 16x)] / 2

m = [-(2x - 3) ± √(4x^2 + 4x + 9)] / 2

m = [-(2x - 3) ± √(4(x^2 + x + 9/4))] / 2

m = [-(2x - 3) ± 2√(x^2 + x + 9/4)] / 2

m = -(x - 3/2) ± √(x^2 + x + 9/4)

Теперь у нас есть два возможных значения m:

1. m₁ = -(x - 3/2) + √(x^2 + x + 9/4)
2. m₂ = -(x - 3/2) - √(x^2 + x + 9/4)

Теперь мы можем записать частное решение в виде:

y_p(x) = a * x^(-(x - 3/2) + √(x^2 + x + 9/4)) + b * x^(-(x - 3/2) - √(x^2 + x + 9/4))

Теперь мы можем объединить общее решение однородного уравнения (y_h) и частное решение неоднородного уравнения (y_p):

y(x) = y_h(x) + y_p(x)

y(x) = c₁ + c₂ * x^(-2x) + a * x^(-(x - 3/2) + √(x^2 + x + 9/4)) + b * x^(-(x - 3/2) - √(x^2 + x + 9/4))

Это общее решение данного дифференциального уравнения.