Question

Вычислить площадь фигуры ограниченой линиями y=x^2+2 ,y=1-x^2,x=0,x=1 Очень срочно ,помогите пожалуйста ,даю 15 баллов

Answer 1

Ответ:

$S = {1}\frac{2}{3}$

Пошаговое объяснение:

$S = S_1-S_2\\ S_1=\int \limits_{0} ^{1} ({x}^{2} - 2)dx \: \: \: \: \: \: \: (1)\\ S_2=\int \limits_{0} ^{1} (1 - {x}^{2})dx \: \: \: \: \: \: \: (2)$

$(1) \: \\ S_1=\int \limits_{0} ^{1} ({x}^{2} + 2)dx =\int \limits_{0} ^{1} {x}^{2} dx + \int \limits_{0} ^{1} 2dx = \\ = \big( \frac{ {x}^{3} }{3} + 2x \big)\bigg | _{0} ^{1} = ( \tfrac{ {1}^{3} }{3} + 2) - ( \tfrac{0^{3} }{3} + 0) = \\ = 2 + \frac{1}{3} = 2 \frac{1}{3} \\ \\(2) \\ S_2=\int \limits_{0} ^{1} (1 - {x}^{2})dx =\int \limits_{0} ^{1} 1dx - \int \limits_{0} ^{1} {x}^{2} dx = \\ = \big( x - \frac{ {x}^{3} }{3} \big)\bigg | _{0} ^{1} = ( 1 - \tfrac{ {1}^{3} }{3} ) - ( 0 - \tfrac{0^{3} }{3} ) = \\ = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$S = S_1-S_2 \\ S_1 = 2 \frac{1}{3} \\ S_2 = \frac{2}{3} \\ S = 2 \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = \frac{7}{3} - \frac{2}{3} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками функций y = x^2 + 2 и y = 1 - x^2, а также вертикальными линиями x = 0 и x = 1, мы можем воспользоваться определенным интегралом.

Сначала найдем точки пересечения графиков функций, чтобы определить пределы интегрирования. Приравняем y = x^2 + 2 и y = 1 - x^2:

x^2 + 2 = 1 - x^2

2x^2 = -1

x^2 = -1/2

Это уравнение не имеет реальных корней, что означает, что графики функций не пересекаются на заданном интервале [0, 1]. Таким образом, площадь между графиками равна нулю, и нет необходимости в интегрировании.

Площадь фигуры ограниченной линиями y = x^2 + 2, y = 1 - x^2, x = 0 и x = 1 равна 0. Надеюсь, это помогло!