Question

Найдите область значений функции y=1+cos5x*sin2x+2sin3x-sin5x*cos2x

Answer 1

$y=1+\cos5x\sin2x+2\sin3x-\sin5x\cos2x=1-\sin(5x-2x)+2\sin3x=\\\\1-\sin3x+2\sin3x=1+\sin3x$

Функция $y=\sin3x$ определена на промежутке $[-1;1]$, тогда

$-1\leq\sin 3x\leq1\enspace \bigg|+1$

$0\leq1+\sin3x\leq2$

Область значений данной функции равен промежутку $[0;2]$

ОТВЕТ: $E(y)=[0;2]$

Answer 2

Для найти область значений функции y = 1 + cos(5x) * sin(2x) + 2 * sin(3x) - sin(5x) * cos(2x), мы можем воспользоваться тем фактом, что область значений тригонометрических функций ограничена.

Первое слагаемое, 1, не зависит от x и всегда равно 1.

Рассмотрим остальные слагаемые:

1. cos(5x) * sin(2x): Произведение синуса и косинуса ограничено в интервале [-1, 1]. Таким образом, это слагаемое ограничено значениями в интервале [-1, 1].

2. 2 * sin(3x): Синусная функция ограничена в интервале [-1, 1], и умножение на 2 не меняет область значений, поэтому это слагаемое ограничено значениями в интервале [-2, 2].

3. -sin(5x) * cos(2x): Произведение синуса и косинуса также ограничено в интервале [-1, 1]. Умножение на -1 не меняет область значений, поэтому это слагаемое ограничено значениями в интервале [-1, 1].

Теперь мы можем объединить все эти ограничения и найти область значений функции y:

1 + (-1, 1) + (-2, 2) + (-1, 1)

Область значений функции y будет интервалом, который получается сложением всех этих ограничений:

1 - 1 - 2 - 1 = -3

1 + 1 + 2 + 1 = 5

Итак, область значений функции y = 1 + cos(5x) * sin(2x) + 2 * sin(3x) - sin(5x) * cos(2x) равна интервалу [-3, 5].