Question

Найдите произведение радиусов вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника с основанием 2 и боковой стороной 3​

Answer 1

Ответ:

$\dfrac98$

Пошаговое объяснение:

- Радиус r вписанной окружности в произвольный треугольник равен

$r=\dfrac{S}p=\dfrac{2S}{P}$

где S — площадь, p — полупериметр, P — соответственно, периметр.

- Радиус описанной окружности R связан с площадью так:

$S=\dfrac{abc}{4R}$

a, b и c — стороны треугольника.

Подставляем S из второго выражения в первое и домножаем на R:

$r=\dfrac{2S}{P}=\dfrac{2abc}{4PR}=\dfrac{abc}{2(a+b+c)R}$

$rR=\dfrac{abc}{2(a+b+c)}$

Для треугольника из условия две стороны равны 3, а вторая равна 2:

$rR=\dfrac{2\cdot3^2}{2(2\cdot3+2)}=\dfrac{2\cdot9}{2\cdot8}=\dfrac{9}{8}$

Answer 2

1) Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг произвольного треугольника, необходимо произведение его сторон разделить на четыре квадратных корня из полупериметра, умноженного на его разность с каждой стороной.

R=(2*3*3) :(4√(4*2*1*1)) =18:(4*2√2) =9/(4√2)

2) Пусть АС=2, ВН - высота к АС.

S = r * (a + b + c) : 2,

S=1/2* a* h. Высоту ищем из прямоугольного треугольника ВН=√(9-1) =2√2 => S=1/2*2*2√2=2√2 . Тогда

r=2√2*2:8=0,5√2.

3) R* r=9/(4√2) *0,5√2=9/8

Answer 3

Для нахождения произведения радиусов вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника, мы можем воспользоваться следующей формулой:

$R \cdot r = \frac{a}{2},$

где $R$ - радиус описанной окружности, $r$ - радиус вписанной окружности, $a$ - длина основания равнобедренного треугольника.

В данном случае, основание треугольника равно 2 (это длина одной из ножек равнобедренного треугольника), поэтому $a = 2$.

Теперь нам нужно найти радиусы $R$ и $r$. Радиус $r$ можно найти с использованием формулы для площади равнобедренного треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r,$

где $S$ - площадь треугольника.

В нашем случае, площадь треугольника равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot r = r.$

Теперь нам нужно найти радиус $R$. Мы знаем, что радиус $R$ можно найти с использованием половины диагонали треугольника и половины длины его основания:

$R = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2},$

где $b$ - длина боковой стороны треугольника (3 в данном случае).

$R = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2^2 + 3^2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 + 9} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13}.$

Теперь мы можем найти произведение радиусов $R$ и $r$:

$R \cdot r = \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{13}\right) \cdot r = \left(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{13}\right) \cdot r.$

Мы уже ранее вычислили $r$ как равный $r$. Таким образом, произведение радиусов равнобедренного треугольника с основанием 2 и боковой стороной 3 равно:

$R \cdot r = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot r.$