Question

Помогите упростить выражение: 7(1+tg^2a) /(tg^2a+1/tg^2a) tg^2

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \frac{7(1+tg^2a)}{(tg^2a+\dfrac{1}{tg^2a})\cdot tg^2a}=\frac{7(1+tg^2a)}{tg^4a+1}=\frac{7}{cos^2a\cdot \Big(\dfrac{sin^4a}{cos^4a}+1\Big )}=\\\\\\=\frac{7}{\dfrac{sin^4a}{cos^2a}+cos^2a}=\frac{7\, cos^2a}{sin^4a+cos^4a}=\frac{7cos^2a}{(sin^2a+cos^2a)^2-2sin^2a\cdot cos^2a}=\\\\\\=\frac{7\, cos^2a}{1-\dfrac{1}{2}\, sin^22a}=\frac{14\, cos^2a}{2-sin^22a}$

Answer 2

Давайте упростим данное выражение шаг за шагом:

1. Начнем с выражения в скобках: 1 + tg^2a.

2. Заметим, что tg^2a = (1 - cos^2a) / cos^2a (это идентичность для тангенса в квадрате).

3. Теперь заменяем tg^2a в исходном выражении:

7(1 + (1 - cos^2a) / cos^2a) / ((1 - cos^2a) / cos^2a + 1/((1 - cos^2a) / cos^2a)) * tg^2a

4. Упростим числитель:

7(1 + (1 - cos^2a) / cos^2a) = 7(1 + 1/cos^2a - cos^2a/cos^2a) = 7(1 + 1/cos^2a - 1) = 7(1/cos^2a)

5. Теперь упростим знаменатель:

((1 - cos^2a) / cos^2a + 1/((1 - cos^2a) / cos^2a)) = (1 - cos^2a + cos^2a) / cos^2a = 1 / cos^2a

6. Теперь у нас есть следующее выражение:

(7/cos^2a) / (1/cos^2a) * tg^2a

7. Упрощаем дроби:

(7/cos^2a) / (1/cos^2a) = 7

Таким образом, упрощенное выражение равно 7.