Question

Решить уравнение: (за выполнение задания не более 20 баллов) При каких значениях параметра a уравнение log (a+6| x|)=2 имеет ровно одно решение?

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

Поскольку в условии не дано основание логарифма, то примем его равным 10. При другом его численном значении логика решения не поменяется.

Первый способ:

$lg(a+6|x|)=2$

Заметим, что если x - корень уравнения, то -x тоже. Тогда единственное решение возможно, если x=0.

При этом значении переменной найдем параметр:

$lg(a)=2\\a=100$

Покажем, что при нем у уравнения нет других корней:

$lg(100+6|x|)=2\\100+6|x|=100\\6|x|=0\\x=0$

(здесь ОДЗ не пишем, так как преобразованиями оно гарантируется)

Тогда такое значение параметра подходит.

Второй способ:

$lg(a+6|x|)=2\\a+6|x|=100$

Из этой строки следует, что условие $a+6|x|>0$ всегда выполняется.

Решим параметр в координатах (x; a):

$a=-6|x|+100$

Выполним построение:

(см. прикрепленный файл)

Откуда следует, что ответом будет $a=100$.

Задание выполнено!

Answer 2

Для решения уравнения log(a+6|x|) = 2 и определения значений параметра a, при которых уравнение имеет ровно одно решение, мы можем следовать следующим шагам:

1. Сначала применим определение логарифма: log(a+6|x|) = 2

2. Преобразуем уравнение, избавившись от логарифма: a + 6|x| = 10

3. Теперь разделим уравнение на 6, чтобы выразить |x|: |x| = (10 - a)/6

4. Уравнение |x| = (10 - a)/6 имеет два случая:

   a) Если (10 - a)/6 > 0, то |x| равно положительному числу, и решение будет: x = (10 - a)/6

   b) Если (10 - a)/6 < 0, то |x| равно отрицательному числу, и решение будет: x = -(10 - a)/6

5. Теперь мы знаем, что уравнение имеет ровно одно решение, если только одно из этих двух решений существует. То есть, либо первое, либо второе решение должно существовать, но не оба одновременно.

Для первого случая (10 - a)/6 > 0: 10 - a > 0 a < 10

Для второго случая -(10 - a)/6 > 0: 10 - a < 0 a > 10

Итак, уравнение log(a+6|x|) = 2 имеет ровно одно решение только в том случае, если параметр a удовлетворяет неравенству a < 10 или a > 10.