Question

Найдите сумму длин интервалов являющихся решениие неравенстваlog4-x (5+x)<1

Answer 1

$log_{4-x}(5+x) 0\\4-x\neq 1\\5+x>0\\\\x-5\\\\x \in (-5;3) \cup(3;4)\\----------\\log_{4-x}(5+x)-log_{4-x}(4-x)$

$----------$

По методу рационализации функция $log_{h(x)}f(x)-log_{h(x)}g(x)$ с учетом ОДЗ принимает такие же знаки как  $(h(x)-1)(f(x)-g(x))$

$----------\\(4-x-1)(5+x-(4-x))$

(решение методом интервалов прикрепляю)

$x \in (-5;-\frac{1}{2}) \cup(3;4)$

Найдем сумму длин интервалов.

$|-5+\frac{1}{2}|+|3-4|= 4,5+1=5,5$

Answer 2

Чтобы решить неравенство $\log_4(5+x) < 1$, мы можем воспользоваться свойствами логарифмов и переписать неравенство в эквивалентной форме:

$4^1 > 5 + x$

Это неравенство говорит о том, что $5 + x$ должно быть меньше чем 4. Решим это неравенство:

$5 + x < 4$

Вычитаем 5 из обеих сторон:

$x < -1$

Таким образом, решение неравенства $\log_4(5+x) < 1$ - это все значения $x$, которые меньше чем -1. Интервал решений - это $(-∞, -1)$.

Длина этого интервала - бесконечность, так как интервал открытый с левой стороны и не имеет верхней границы.