Question

Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки M1(−5,5,3) и M2(−10,9,6) перпендикулярно плоскости −6x+y+z−8=0. Уравнение плоскости запишите в виде x+By+Cz+D=0. В ответ введите числа B;C;D, разделив их точкой с запятой.

Answer 1

Вектор нормали M₁M₂ = {-10 - (-5); 9 - 5; 6 - 3} = {-5; 4; 3}.

Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали $\vec n_1(-6;1;1)$. Поскольку точки M₁ и М₂ принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то

$\vec n_1=\vec{M_1M_2}\times \vec n_2=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\-5&4&3\\-6&1&1\end{array}\right|=i\left|\begin{array}{ccc}4&3\\1&1\end{array}\right|-j\left|\begin{array}{ccc}-5&3\\-6&1\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{ccc}-5&4\\-6&1\end{array}\right|=$

$i\cdot(4-3)-j\cdot(-5+18)+k\cdot(-5+24)=i-13j+19k$

Вектор нормали $\vec n_1(1;-13;19)$ , т.к. точка $M_1$ принадлежит искомой плоскости, то её координаты должны удовлетворять этой плоскости, т.е. -5 - 13 * 5 + 19 * 3 + D= 0 откуда D = 13.

Итого получаем уравнение плоскости x - 13y + 19z + 13 = 0, где значения B, C, D соответственно равны (-13), 19, 13

Answer 2

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через точками M1(-5, 5, 3) и M2(-10, 9, 6) и перпендикулярной плоскости -6x + y + z - 8 = 0, мы можем воспользоваться следующим методом:

1. Найдем вектор нормали к заданной плоскости -6x + y + z - 8 = 0. Вектор нормали будет иметь координаты (A, B, C), где A = -6, B = 1, и C = 1.

2. Теперь мы знаем, что вектор нормали к искомой плоскости будет перпендикулярным вектору нормали заданной плоскости. Это означает, что скалярное произведение этих векторов равно нулю:

A * A1 + B * B1 + C * C1 = 0,

где (A1, B1, C1) - координаты вектора нормали к искомой плоскости.

Подставим известные значения:

(-6) * A1 + 1 * B1 + 1 * C1 = 0.

3. Теперь нам нужно найти уравнение плоскости, проходящей через точку M1(-5, 5, 3) и имеющей вектор нормали (A1, B1, C1). Уравнение плоскости в общем виде выглядит следующим образом:

A1 * (x - x1) + B1 * (y - y1) + C1 * (z - z1) = 0,

где (x1, y1, z1) - координаты точки M1(-5, 5, 3).

Подставим известные значения:

A1 * (x + 5) + B1 * (y - 5) + C1 * (z - 3) = 0.

4. Теперь у нас есть уравнение плоскости в желаемом виде x + By + Cz + D = 0. Для этого приведем его к этому виду:

A1 * x + B1 * y + C1 * z + A1 * (-5) + B1 * (-5) + C1 * (-3) = 0.

С учетом значений A1, B1 и C1:

(-6) * x + y + z - 5 * (-6) + 1 * (-5) + 1 * (-3) = 0.

Упростим:

-6x + y + z + 30 - 5 - 3 = 0,

-6x + y + z + 22 = 0.

Теперь у нас есть уравнение искомой плоскости в виде x + By + Cz + D = 0. Значения B, C и D равны 1, 1 и 22 соответственно. Так что ответ: B = 1, C = 1, D = 22.