Question

x^2-8a+a^2-6x/x^2+a-8. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно два различных решения

Answer 1

Ответ:

a € (-1; 4) U (4; 7) U (7; 8)

Пошаговое объяснение:

Как я понял, это большая дробь, а справа стоит 0.

(x^2 - 6x + a^2 - 8a) / (x^2 + a - 8) = 0

Если дробь равна 0, то числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.

{ x^2 - 6x + a^2 - 8a = 0

{ x^2 + a - 8 ≠ 0

Находим дискриминант 1 уравнения и условие для 2 неравенства.

Так как уравнение имеет два корня, то должно быть D > 0:

{ D = (-6)^2 - 4(a^2 - 8a) = 36 - 4a^2 + 32a = 4(-a^2 + 8a + 9) > 0

{ x^2 ≠ 8 - a

Находим условия для дискриминанта и для х:

{ -a^2 + 8a + 9 > 0

{ x ≠ √(8-a)

Из последнего ясно, что 8 - a ≥ 0; a ≤ 8.

Умножаем 1 неравенство на (-1), при этом знак неравенства меняется.

a^2 - 8a - 9 < 0

(a+1)(a-9) < 0

a € (-1; 9)

В итоге a € (-1; 8]

Решаем уравнение при D > 0 с учётом условия неравенства:

x1 = (6 - √(4(-a^2+8a+9)) )/2 = 3 - √(-a^2+8a+9) ≠ √(8-a)

3 - √(8-a) ≠ √(-a^2+8a+9)

9 - 6√(8-a) + 8 - a ≠ -a^2 + 8a + 9

-6√(8-a) ≠ -a^2 + 9a - 8

√(8-a) ≠ (a^2 - 9a + 8)/6 = (8-a)(1-a)/6

a ≠ 8, так как иначе слева и справа будет 0, а должно быть неравенство.

Сокращаем на √(8-a)

1 ≠ (1-a)√(8-a)/6

(1-a)√(8-a) ≠ 6

Возводим в квадрат левую и правую часть.

(1-a)^2*(8-a) ≠ 36

(a^2 - 2a + 1)(8 - a) - 36 ≠ 0

8a^2 - 16a + 8 - a^3 + 2a^2 - a - 36 ≠ 0

-a^3 + 10a^2 - 17a - 28 ≠ 0

Умножаем всё на (-1)

a^3 - 10a^2 + 17a + 28 ≠ 0

a^3 + a^2 - 11a^2 - 11a + 28a + 28 ≠ 0

(a+1)(a^2 - 11a + 28) ≠ 0

(a+1)(a-4)(a-7) ≠ 0

a1 ≠ -1, a2 ≠ 4; a3 ≠ 7.

a € (-1; 4) U (4; 7) U (7; 8)

x2 = 3 + √(-a^2+8a+9) ≠ √(8-a)

Решается точно также, и результат такой же.

Answer 2

Для того чтобы найти все значения параметра "a", при которых уравнение имеет ровно два различных решения, мы должны рассмотреть дискриминант уравнения квадратного типа в числителе.

Уравнение, данное вами:

(x^2 - 8a + a^2 - 6x) / (x^2 + a - 8)

можно представить в виде:

(x^2 - 6x + a^2 - 8a) / (x^2 + a - 8)

Теперь мы можем найти дискриминант числителя, который должен быть больше нуля, чтобы уравнение имело два различных корня. Дискриминант для уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 равен D = b^2 - 4ac.

В данном случае, a = 1, b = -6, и c = a^2 - 8a.

D = (-6)^2 - 4(1)(a^2 - 8a) D = 36 - 4(a^2 - 8a)

D = 36 - 4a^2 + 32a

Теперь мы знаем, что D > 0. Значит:

36 - 4a^2 + 32a > 0

Переносим все элементы в одну сторону:

4a^2 - 32a + 36 < 0

Делим всё уравнение на 4 (положительное число), чтобы упростить его:

a^2 - 8a + 9 < 0

Теперь решим это квадратное неравенство. Мы ищем значения "a", при которых левая сторона меньше нуля:

(a - 3)(a - 6) < 0

Чтобы найти интервалы, где это неравенство выполняется, посмотрим на знаки на каждом из интервалов:

1. Если a < 3, оба множителя (a - 3) и (a - 6) отрицательны, и произведение положительно.
2. Если 3 < a < 6, первый множитель (a - 3) положителен, а второй (a - 6) отрицателен, поэтому произведение отрицательно.
3. Если a > 6, оба множителя положительны, и произведение снова положительно.

Таким образом, неравенство выполняется только на интервале 3 < a < 6. Это означает, что при значениях "a" в этом интервале уравнение имеет ровно два различных корня.