Question

Решите в целых числах уравнение x2−xy=x−y+1. Если решений несколько, каждое решение (x,y) введите в отдельное поле ввода, разделив числа пробелом (сначала x, потом y). Например, если решением является x=10, y=−9, то нужно ввести «10 -9» (без кавычек).

Answer 1

Ответ:

2 1

0 1

Пошаговое объяснение:

x² − xy = x − y + 1

x² - xy - x + y = 1

x(x - y) - (x - y) = 1

(x - 1)(x - y) = 1

x - 1 = 1

х = 1 + 1

x₁ = 2

2 - y = 1

у = 2 - 1

y₁ = 1

x - 1 = -1

х = -1 + 1

x₂ = 0

0 - y = -1

y₂ = 1

Answer 2

Давайте решим уравнение x^2 - xy = x - y + 1:

x^2 - xy = x - y + 1

Переносим все члены на одну сторону:

x^2 - xy - x + y - 1 = 0

Теперь попробуем выразить одну переменную через другую. Для этого давайте перепишем уравнение, выразив x через y:

x^2 - x(y + 1) + (y - 1) = 0

Теперь воспользуемся квадратным уравнением для x. Дискриминант этого уравнения должен быть полным квадратом, чтобы существовали целые решения. Дискриминант D для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В данном случае:

a = 1 b = -(y + 1) c = y - 1

D = (-y - 1)^2 - 4(1)(y - 1)

Раскроем скобки:

D = (y^2 + 2y + 1) - 4(y - 1)

D = y^2 + 2y + 1 - 4y + 4

D = y^2 - 2y + 5

Чтобы существовали целые решения, D должен быть полным квадратом. Попробуем найти целые значения y, при которых D - полный квадрат:

D = y^2 - 2y + 5 = (y - 1)^2 + 4

Теперь мы видим, что D является полным квадратом (квадрат разности y и 1 плюс 4).

Таким образом, у нас есть бесконечно много решений. Чтобы найти их, мы можем использовать выражение (y - 1)^2 + 4 = D и находить значения y:

(y - 1)^2 + 4 = D

Подставляя различные целые значения y, мы найдем соответствующие значения D и, следовательно, x.

Например, при y = 2:

(2 - 1)^2 + 4 = 1 + 4 = 5

Таким образом, одним из решений является x = 5, y = 2.

Мы можем продолжать подбирать различные целые значения y и находить соответствующие решения.