Question

Если трехзначные числа вида aba+1 делить на 7, то получается одинаковые остатки. Найдите этот остаток, если сумма цифр a и b делится на 7 без остатка.

Answer 1

Так как известно, что сумма цифр a и b делится на 7 без остатка, то запишем:

$a+b=7m,\ m\in\mathbb{N}$

Рассмотрим число $\overline{aba}$:

$\overline{aba}=100a+10b+a=91a+10a+10b=91a+10(a+b)=$

$=91a+10\cdot7m=7(13a+10m)$

Так как в произведении есть множитель 7, то такое произведение делится на 7.

Тогда, рассмотрим сумму:

$\overline{aba}+1=7(13a+10m)+1$

Первое слагаемое делится на 7, а второе при делении на 7 дает остаток 1. Значит, при делении записанной суммы на 7 получится остаток 1.

Ответ: 1

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей.

Пусть трехзначное число вида aba+1 обозначается как 100a + 10b + a + 1.

Сначала рассмотрим условие, что сумма цифр a и b делится на 7 без остатка. Это означает, что a + b является кратным 7. Пусть a + b = 7k, где k - целое число.

Теперь мы можем записать трехзначное число в виде 100a + 10b + a + 1 = 101a + 10b + 1. Мы уже знаем, что a + b = 7k, поэтому мы можем заменить a на 7k - b:

101a + 10b + 1 = 101(7k - b) + 10b + 1 = 707k - 101b + 10b + 1 = 707k - 91b + 1.

Теперь мы видим, что 707k - 91b + 1 - это выражение для трехзначного числа вида aba+1.

Мы хотим, чтобы это число делилось на 7 без остатка. Это означает, что 707k - 91b + 1 должно быть кратным 7. Другими словами:

(707k - 91b + 1) % 7 = 0.

Теперь давайте рассмотрим, какие остатки могут быть у 707k - 91b + 1 при делении на 7.

По модулю 7:

707k % 7 = 0, так как 707 делится на 7 без остатка. (-91b) % 7 = (-13b) % 7, так как -91 и -13 имеют одинаковый остаток при делении на 7. 1 % 7 = 1, так как 1 делится на 7 без остатка.

Таким образом, уравнение (707k - 91b + 1) % 7 = 0 можно переписать как:

(0 - 13b + 1) % 7 = 0.

Теперь давайте найдем остаток от выражения -13b + 1 при делении на 7:

(-13b + 1) % 7 = (-13b % 7 + 1 % 7) % 7 = (6 - 13b) % 7.

Мы хотим, чтобы это выражение было равно 0. Поэтому:

(6 - 13b) % 7 = 0.

Теперь мы можем найти остаток 13b при делении на 7:

13b % 7 = 6, так как 13 = 7 * 1 + 6.

Таким образом, остаток 13b при делении на 7 равен 6, и это означает, что остаток -13b при делении на 7 также равен 6. Следовательно:

(6 - 13b) % 7 = 0.

И, так как (6 - 13b) % 7 = 0, остаток числа aba+1 при делении на 7 также равен 0, при условии, что сумма цифр a и b делится на 7 без остатка.