Question

Если трехзначные числа вида aba делить на 7, то получатся одинаковые остатки. Найдите этот остаток, если сумма цифр a и b делится на 7 без остатка. ​

Answer 1

По условию, сумма цифр a и b делится на 7:

$a+b=7n,\ n\in\mathbb{N}$

Рассмотрим заданное число:

$\overline{aba}=100a+10b+a=101a+10b=98a+3a+7b+3b=$

$=(98a+7b)+(3a+3b)=7(14a+b)+3(a+b)=7(14a+b)+3\cdot 7n$

Заметим, что каждое слагаемое в преобразованном выражении содержит множитель 7. Следовательно, каждое слагаемое, а значит и все выражение в целом, делится на 7.

$(7(14a+b)+3\cdot 7n)\,\vdots\ 7 \Rightarrow \overline{aba}\ \vdots\ 7$

Если число делится на 7, то соответствующий остаток при делении равен 0.

Ответ: 0

Answer 2

Чтобы найти остаток, который получается при делении трехзначных чисел вида aba на 7, мы должны рассмотреть все возможные значения a и b, удовлетворяющие условию, что сумма a и b делится на 7 без остатка.

Так как трехзначные числа вида aba представляются в виде чисел от 101 до 999, мы можем рассмотреть все эти числа и найти те, для которых выполняется условие.

Когда сумма цифр a и b делится на 7 без остатка, имеется несколько комбинаций значений a и b, которые могут удовлетворять этому условию. Ниже приведены все такие комбинации и соответствующие остатки при делении на 7:

a = 1, b = 6: остаток 100 % 7 = 2 a = 2, b = 5: остаток 200 % 7 = 4 a = 3, b = 4: остаток 300 % 7 = 6 a = 4, b = 3: остаток 400 % 7 = 1 a = 5, b = 2: остаток 500 % 7 = 3 a = 6, b = 1: остаток 600 % 7 = 5

Таким образом, когда сумма цифр a и b делится на 7 без остатка, остаток при делении трехзначного числа вида aba на 7 будет зависеть от значений a и b и может быть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 в зависимости от комбинации цифр a и b.