Question

Пусть неправильная дробь p/q несократима. Может ли оказаться сократимой правильная дробь - дробная часть полученной из неё смешанной дроби? Как доказать? Спасибо.

Answer 1

Ответ:

Нет

Пошаговое объяснение:

Так как дробь неправильная, то $p\geq q$.

Тогда пусть $p=n\cdot q+d;n\in Z,0\leq d$ [очевидно, такое представление существует: $d$ - это остаток, а $n$ - частное от деления с остатком $p$ на $q$]

Тогда $\dfrac{p}{q}=n+\dfrac{d}{q}$

Очевидно, $0\leq \dfrac{d}{q}$, а значит $\dfrac{d}{q}$ - рассматриваемая дробная часть.

Пусть d и q имеют общий простой множитель s, т.е. дробь сократима. Но тогда $n\cdot q$ также делится на s - а значит и $p=n\cdot q+d$ делится на s, то есть исходная дробь  $\dfrac{p}{q}$ сократима - противоречие с условием.

Значит, рассматриваемая дробная часть несократима

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) способ

Алгоритм Евклида.

Пусть a = b⋅q + r, тогда НОД (a, b) = НОД (b, r)

Из чего вытекает несократимость дробной части

2) способ

Предположим, дробная часть a/b- сокращается в отличии от неправильной дроби (bc+a)/b где целая часть это число с

a/b- сокращается⇒НОД(a; b)=k>1, числа a и b делятся на число k

a=nk, b=mk⇒bc+a=cmk+nk=k(cm+n)⇒НОД(bc+a; b)≥k>1

То есть неправильная дробь тоже сократима.

Пришли к противоречию. Значит, наше предположение было неверным.

Answer 3

Да, может оказаться, что правильная дробь (дробь, в которой числитель меньше знаменателя) станет сократимой, если вы возьмете дробную часть смешанной дроби, полученной из неправильной дроби p/q. Давайте рассмотрим это более подробно.

Пусть дана неправильная дробь p/q, где p и q - натуральные числа и эта дробь несократима, то есть их НОД (наибольший общий делитель) равен 1.

Смешанная дробь, полученная из этой неправильной дроби, имеет вид:

a + p/q,

где a - целая часть смешанной дроби.

Теперь давайте рассмотрим дробную часть смешанной дроби, то есть p/q. Если p и q являются взаимно простыми (их НОД равен 1), то их отношение остается несократимым. Однако, если p и q не взаимно просты (их НОД больше 1), то дробь p/q будет сократимой.

Давайте рассмотрим пример:

Пусть p = 10 и q = 15. НОД(10, 15) = 5, что больше 1.

Исходная неправильная дробь p/q = 10/15, которая несократима.

Смешанная дробь будет: a + p/q = a + 10/15.

Дробь 10/15 можно сократить до 2/3, так как их НОД равен 5. Таким образом, смешанная дробь станет a + 2/3, и она уже является сократимой.

Итак, ответ на ваш вопрос: дробная часть смешанной дроби, полученной из неправильной дроби p/q, может быть сократимой, если числитель и знаменатель исходной неправильной дроби не взаимно просты (их НОД больше 1).