Question

Вася загадал два целых числа nn и mm и предложил Пете их отгадать. Петя попросил Васю в качестве подсказки назвать значение выражения mn+11n+11m-n^2-m^2 . Когда Вася назвал значение этого выражения, Петя смог однозначно восстановить чему равно nn и чему равно m . Какое число назвал Вася в качестве подсказки?

Answer 1

Ответ:

$121$

Пошаговое объяснение:

$f(m,n)=mn+11n+11m-n^2-m^2=-\dfrac{1}{2}(-2mn-2\cdot 11n-2\cdot 11m+2n^2+2m^2)=\\ =-\dfrac{1}{2}((m^2-2mn+n^2)+(n^2-2\cdot 11n+11^2)+(m^2-2\cdot 11m+11^2))+11^2=\\ =-\dfrac{1}{2}\underbrace{((m-n)^2+(n-11)^2+(m-11)^2)}_{\geq 0}+121$

То есть  $f(m,n)\leq 121$, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $(m-n)^2+(n-11)^2+(m-11)^2=0\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}m-n=0\\n-11=0\\m-11=0\end{array}\right.\Leftrightarrow m=n=11$.

Значит, Вася мог назвать число $121$, благодаря чему Петя однозначно восстановил $m=n=11$.

Покажем, что других чисел Вася назвать не мог.

Заметим:

$f(22-m,22-n)=-\dfrac{1}{2}((22-m-(22-n))^2+(22-n-11)^2+(22-m-11)^2)+121=\\ =-\dfrac{1}{2}((-m+n)^2+(11-n)^2+(11-m)^2)+121=-\dfrac{1}{2}((m-n)^2+(n-11)^2+\\ +(m-11)^2)+121=f(m,n)$

Но тогда, если по значению функции однозначно можно определить аргументы, должно выполняться условие $\left\{\begin{array}{c}22-m=m\\22-n=n\end{array}\right.\Leftrightarrow m=n=11$ - то есть подходит лишь уже рассмотренный случай.

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение mn + 11n + 11m - n^2 - m^2 и попробуем выразить nn и mm из него.

mn + 11n + 11m - n^2 - m^2

Давайте сгруппируем члены, связанные с nn и mm:

mn - n^2 + 11n + 11m - m^2

Теперь давайте рассмотрим только члены, связанные с nn и mm:

mn - n^2 и 11n + 11m - m^2

Мы видим, что в каждой из этих групп есть общий множитель:

n(m - n) и 11(m + n) - m^2

Теперь давайте подумаем о том, как выбрать значение для выражения так, чтобы Петя смог однозначно восстановить nn и mm. Для этого выражение должно быть представимо в виде произведения двух факторов, где каждый фактор содержит только nn или mm.

Мы видим, что n(m - n) - это произведение nn и (m - n), а 11(m + n) - m^2 - это произведение 11 и (m + n - m^2/11).

Для удобства, давайте предположим, что:

A = m - n B = m + n - m^2/11

Теперь выразим nn и mm в терминах A и B:

nn = n(m - n) = A * n mm = 11(m + n - m^2/11) = 11B

Теперь у нас есть выражения для nn и mm в терминах A и B. Поскольку Петя смог однозначно восстановить nn и mm, значит, значение выражения должно быть выбрано так, чтобы оно было произведением A и 11B.

Таким образом, Петя смог бы однозначно восстановить nn и mm, если Вася назвал значение выражения, равное A * 11B:

mn + 11n + 11m - n^2 - m^2 = A * 11B

Исходя из этого, Вася должен назвать значение выражения, равное A * 11B, где A = m - n и B = m + n - m^2/11.