Question

На доску выписаны пять составных чисел и любые два из них взаимно просты . Докажите , что одно из них больше 100. Срочно

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Составное число — натуральное число, имеющее делители, отличные от единицы и самого себя. Каждое составное число является произведением двух или более натуральных чисел, больших единицы.  

Взаимно простые числа — целые числа, не имеющие никаких общих делителей, кроме 1.

Каждое из пяти чисел составное , т.е. имеет при разложении 2 и более множителей , но при этом  любые два записанных числа взаимно просты. Значит  каждое из простых чисел 2, 3, 5 и 7 должно войти в разложение на множители не более , чем одного числа .Поскольку на доске написано 5 чисел , значит в  каком –то из них  будет множитель 11 или больше . А поскольку все числа составные , значит это число будет не меньше , чем 11 * 11 =  121 , а это больше чем 100 , что и требовалось доказать.  

Answer 2

Давайте докажем это утверждение методом от противного (reductio ad absurdum).

Предположим, что на доске записаны пять составных чисел, и любые два из них взаимно просты, но ни одно из них не больше 100. Это означает, что все пять чисел меньше или равны 100.

Теперь рассмотрим возможные разложения этих чисел на простые множители. Поскольку все числа составные, они имеют разложение на простые множители. Однако, по условию, ни одно из них не больше 100, что означает, что каждое из них может быть представлено в виде произведения простых чисел, которые сами меньше или равны 100.

Известно, что простые числа меньше 100 это: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 и 97.

Максимальное количество различных простых множителей, которое может быть у числа, равно 24 (если оно разлагается на все 24 простых числа, которые меньше или равны 100).

Теперь, если у нас есть 5 чисел, и каждое из них разлагается на меньшее количество простых множителей (чем 24), то у нас будет (5 * 24) = 120 или более простых множителей, исключая повторения.

Это приводит к противоречию, так как у нас всего 25 различных простых чисел (меньше или равных 100), и у нас не может быть 120 или более различных простых множителей.

Поэтому наше изначальное предположение, что все пять составных чисел меньше 100, не может быть верным. По крайней мере, одно из них должно быть больше 100.