Question

Очень срочно. Решите уравнение . В ответ запишите количество различных корней уравнения на промежутке 0° ≤ x ≤ 180° . sin⁴x+cos⁴x=sin⁴2x+cos⁴2x

Answer 1

Ответ:

x={0°; 30°; 60°; 90°; 120°; 150°; 180°}-7 различных корней уравнения на промежутке 0° ≤ x ≤ 180°

Пошаговое объяснение:

sin⁴x+cos⁴x=(sin²x+cos²x)²-2sin²xcos²x=1-0,5(2sinxcosx)²=1-0,5sin²2x

sin⁴2x+cos⁴2x=(sin²2x+cos²2x)²-2sin²2xcos²2x=1-0,5(2sin2xcos2x)²=1-0,5sin²4x

1-0,5sin²2x=1-0,5sin²4x

sin²2x=sin²4x

$\frac{1-cos4x}{2}= \frac{1-cos8x}{2}$

cos4x=cos8x

2sin6xsin2x=0

1) sin6x=0

6x=nπ

x=nπ/6

2) sin2x=0

2x=kπ

x=kπ/2

x={nπ/6; kπ/2}, n,k∈Z⇒x=nπ/6, n∈Z

0≤x≤π, x=nπ/6, n∈Z⇒x={0; π/6; π/3; π/2; 2π/3; 5π/6; π}

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение и попробуем найти количество различных корней на заданном интервале.

У нас есть уравнение: sin⁴x + cos⁴x = sin⁴2x + cos⁴2x

Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы упростить его. Начнем с разложения sin⁴2x и cos⁴2x:

sin⁴2x = (sin²2x)² cos⁴2x = (cos²2x)²

Теперь мы можем заменить sin²2x и cos²2x тригонометрическими идентичностями: sin²2x = 1 - cos²2x cos²2x = 1 - sin²2x

Подставим это в исходное уравнение:

sin⁴x + cos⁴x = (1 - cos²2x)² + (1 - sin²2x)²

Теперь упростим уравнение:

sin⁴x + cos⁴x = (1 - 2cos²2x + cos⁴2x) + (1 - 2sin²2x + sin⁴2x)

Теперь объединим подобные слагаемые:

2sin⁴x + 2cos⁴x - 2cos²2x - 2sin²2x = 0

Упростим уравнение дальше, разделив на 2:

sin⁴x + cos⁴x - cos²2x - sin²2x = 0

Теперь используем тождество sin²x + cos²x = 1, чтобы заменить sin²2x и cos²2x:

sin⁴x + cos⁴x - (1 - sin⁴x) - (1 - cos⁴x) = 0

Теперь упростим это уравнение:

sin⁴x + cos⁴x - 1 + sin⁴x - 1 + cos⁴x = 0

2(sin⁴x + cos⁴x) - 2 = 0

sin⁴x + cos⁴x = 1

Теперь у нас есть уравнение sin⁴x + cos⁴x = 1, которое означает, что сумма четвертых степеней синуса и косинуса равна 1.

На интервале 0° ≤ x ≤ 180° синус и косинус положительны, и их четвертые степени также положительны. Таким образом, у нас есть только один корень на этом интервале, который равен 1.

Ответ: 1 корень.