Question

42 певца записывают песню, в которой есть несколько куплетов и припевов в определенном порядке. Каждый куплет поется ровно 6 певцами, а каждый припев — ровно 4 певцами. Каждый певец может спеть только в одном куплете или припеве, в песне есть хотя бы один куплет и хотя бы один припев, два куплета не идут сразу друг после друга, никакой припев не может быть одновременно до и после припевов. Необязательно использовать всех певцов для записи. Сколько различных количеств певцов нужно для исполнения таких песен? Распишите поподробней решение .

Answer 1

Разберем структуру песни. Обозначим куплет как К, а припев как П.

Пусть в песне есть k куплетов:

$K_1\ K_2\ K_3\ \ldots\ K_k$

По условию, между куплетами может стоять 1 или 2 припева, а до первого и после последнего куплета - 0, 1 или 2 припева:

$\left(\begin{array}{c}\times\\\Pi\\\Pi\Pi\end{array}\right) K_1\left(\begin{array}{c}\Pi\\\Pi\Pi\end{array}\right) K_2\left(\begin{array}{c}\Pi\\\Pi\Pi\end{array}\right) K_3\left(\begin{array}{c}\Pi\\\Pi\Pi\end{array}\right) \ldots\ K_k\left(\begin{array}{c}\times\\\Pi\\\Pi\Pi\end{array}\right)$

Определим минимальное и максимальное возможное число припевов для k куплетов.

Минимальное число припевов соответствует случаю, когда между всеми куплетами стоит по одному припеву, а припевы до первого куплета и после последнего куплета отсутствуют. Так как промежутков между k куплетами (k-1), то этому же числу и равняется минимальное число припевов:

$\Pi_{\min}=k-1$

Заметим, что для одного куплета формула даст число припевов, равное нулю. Но по условию в песне есть хотя бы один припев. Тогда можно записать:

$\Pi_{\min}=\max(k-1;\ 1)$

Максимальное число припевов соответствует случаю, когда между всеми куплетами стоит по два припева, а также до первого куплета и после последнего куплета стоит по два припева. Тогда, максимальное число припевов:

$\Pi_{\max}=2(k-1)+2+2=2k-2+2+2=2k+2$

Рассмотрим песни с одним куплетом.

$k=1$

Тогда:

$\Pi_{\min}=1$

$\Pi_{\max}=2\cdot1+2=4$

Введем функцию $f(K;\ \Pi)=6K+4\Pi$, позволяющую по числу куплетов и припевов находить нужно число певцов. Можно ввести ограничение, например, о том, что при $6K+4\Pi>42$ - функция не определена, так как по условию имеется 42 певца.

$f(1;\ 1)=6\cdot1+4\cdot1=\boxed{10}$

$f(1;\ 2)=6\cdot1+4\cdot2=\boxed{14}$

$f(1;\ 3)=6\cdot1+4\cdot3=\boxed{18}$

$f(1;\ 4)=6\cdot1+4\cdot4=\boxed{22}$

Рассмотрим песни с двумя куплетами.

$k=2$

Тогда:

$\Pi_{\min}=2-1=1$

$\Pi_{\max}=2\cdot2+2=6$

$f(2;\ 1)=6\cdot2+4\cdot1=\boxed{16}$

$f(2;\ 2)=6\cdot2+4\cdot2=\boxed{20}$

$f(2;\ 3)=6\cdot2+4\cdot3=\boxed{24}$

$f(2;\ 4)=6\cdot2+4\cdot4=\boxed{28}$

$f(2;\ 5)=6\cdot2+4\cdot5=\boxed{32}$

$f(2;\ 6)=6\cdot2+4\cdot6=\boxed{36}$

Рассмотрим песни с тремя куплетами.

$k=3$

Тогда:

$\Pi_{\min}=3-1=2$

$\Pi_{\max}=2\cdot3+2=8$

$f(3;\ 2)=6\cdot3+4\cdot2=\boxed{26}$

$f(3;\ 3)=6\cdot3+4\cdot3=\boxed{30}$

$f(3;\ 4)=6\cdot3+4\cdot4=\boxed{34}$

$f(3;\ 5)=6\cdot3+4\cdot5=\boxed{38}$

$f(3;\ 6)=6\cdot3+4\cdot6=\boxed{42}$

На этом шаге понятно, что последующие значения функции будут больше 42.

Рассмотрим песни с четырьмя куплетами.

$k=4$

Тогда:

$\Pi_{\min}=4-1=3$

$\Pi_{\max}=2\cdot4+2=10$

$f(4;\ 3)=6\cdot4+4\cdot3=36$

$f(4;\ 4)=6\cdot4+4\cdot4=\boxed{40}$

$f(4;\ 5)=6\cdot4+4\cdot5>42$

Последующие значения функции больше 42.

Рассмотрим песни с пятью куплетами.

$k=5$

Тогда:

$\Pi_{\min}=5-1=4$

$f(5;\ 4)=6\cdot5+4\cdot4>42$

Все значения функции в этом случае больше 42.

Таким образом, найденные различные количества певцов:

10, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42 - всего 16 значений

Ответ: 16

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте разберемся с условиями задачи поочередно:

1. У нас есть 42 певца.
2. Каждый куплет поется 6 певцами.
3. Каждый припев поется 4 певцами.
4. Каждый певец может участвовать только в одном куплете или припеве.
5. Должен быть хотя бы один куплет и хотя бы один припев.
6. Два куплета не могут идти друг за другом.
7. Никакой припев не может быть одновременно до и после других припевов.

Чтобы рассмотреть все возможные варианты, мы можем использовать метод перебора. Давайте начнем с куплетов, так как они более ограничивающие.

Сначала рассмотрим возможные варианты числа куплетов:

• 1 куплет: В этом случае у нас есть 6 певцов в куплете. Остается 42 - 6 = 36 певцов для припевов.
• 2 куплета: Здесь у нас 2 варианта размещения куплетов, но нам нужно учесть условие, что они не могут идти друг за другом. Таким образом, у нас есть 1 способ разместить 2 куплета.
• 3 куплета: Аналогично, у нас есть 3 способа разместить 3 куплета.
• 4 куплета: У нас есть 4 способа разместить 4 куплета.

Теперь давайте рассмотрим варианты для припевов:

• 1 припев: В этом случае у нас есть 4 певца в припеве. Остается 36 - 4 = 32 певца для оставшихся припевов.
• 2 припева: Здесь у нас 3 варианта размещения 2 припевов.
• 3 припева: Аналогично, у нас есть 3 способа разместить 3 припева.
• 4 припева: У нас есть 1 способ разместить 4 припева.

Теперь давайте учтем условие, что никакой припев не может быть одновременно до и после других припевов. Это означает, что припевы могут располагаться только между куплетами.

Посчитаем общее количество возможных вариантов:

Для 1 куплета и 1 припева: 1 * 1 = 1 вариант. Для 1 куплета и 2 припевов: 1 * 3 = 3 варианта. Для 1 куплета и 3 припевов: 1 * 3 = 3 варианта. Для 1 куплета и 4 припевов: 1 * 1 = 1 вариант. Для 2 куплетов и 1 припева: 1 * 1 = 1 вариант. Для 2 куплетов и 2 припевов: 1 * 3 = 3 варианта. Для 2 куплетов и 3 припевов: 1 * 3 = 3 варианта. Для 2 куплетов и 4 припевов: 1 * 1 = 1 вариант. Для 3 куплетов и 1 припева: 3 * 1 = 3 варианта. Для 3 куплетов и 2 припевов: 3 * 3 = 9 вариантов. Для 3 куплетов и 3 припевов: 3 * 3 = 9 вариантов. Для 3 куплетов и 4 припевов: 3 * 1 = 3 варианта. Для 4 куплетов и 1 припева: 4 * 1 = 4 варианта. Для 4 куплетов и 2 припевов: 4 * 3 = 12 вариантов. Для 4 куплетов и 3 припевов: 4 * 3 = 12 вариантов. Для 4 куплетов и 4 припевов: 4 * 1 = 4 варианта.

Теперь сложим все эти варианты:

1 + 3 + 3 + 1 + 1 + 3 + 3 + 1 + 3 + 9 + 9 + 3 + 4 + 12 + 12 + 4 = 68 различных комбинаций.

Итак, существует 68 различных способов выбрать количество певцов для исполнения таких песен, учитывая указанные условия.