Question

Помогите решить тригонометрическое уравнение 2sinxcosx+tgx=2

Answer 1

Ответ:

x=π/4+kπ, k∈Z

Пошаговое объяснение:

tgx=y

2sinxcosx=2sinxcosx/(cos²x+sin²x)=2tgx/(tg²x+1)=2y/(y²+1)

2y/(y²+1)+y=2

2y+y³+y=2y²+2

y³-2y²+3y-2=0

y³-2y²+3y-2=y³-y²-y²+y+2y-2=y²(y-1)-y(y-1)+2(y-1)=(y-1)(y²-y+2)

(y-1)(y²-y+2)=0

1) y-1=0

y=1

tgx=1

x=π/4+kπ, k∈Z

2) y²-y+2=0

D=-7<0

Answer 2

Для решения данного тригонометрического уравнения, начнем с преобразования его в более простую форму. У нас есть уравнение:

2sin(x)cos(x) + tg(x) = 2

Заметим, что tg(x) = sin(x)/cos(x). Теперь можем подставить это выражение в уравнение:

2sin(x)cos(x) + sin(x)/cos(x) = 2

Умножим обе стороны на cos(x), чтобы избавиться от дроби в левой части:

2sin(x)cos^2(x) + sin(x) = 2cos(x)

Теперь выразим sin(x) через cos(x) с использованием тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))

Подставим это выражение в уравнение:

2cos(x) * (1 - cos^2(x)) + sqrt(1 - cos^2(x)) = 2cos(x)

Раскроем скобки:

2cos(x) - 2cos^3(x) + sqrt(1 - cos^2(x)) = 2cos(x)

Теперь выразим cos^3(x) через cos(x):

2cos(x) - 2cos^3(x) + sqrt(1 - cos^2(x)) = 2cos(x)

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

-2cos^3(x) + sqrt(1 - cos^2(x)) = 0

Теперь это уравнение можно решить численно, например, с использованием метода Ньютона или других численных методов. Я не могу предоставить точное аналитическое решение для этого уравнения, но вы можете использовать программу или калькулятор, чтобы найти численное решение для cos(x).