Question

Написать уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые x=y+1/-2=z-2/3 и x=y+2/-2=z-3/3

Answer 1

Уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые

x=y+1/-2=z-2/3 и x=y+2/-2=z-3/3 дано во вложении.

Answer 2

Уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые, можно найти используя точку на обоих прямых и их направляющие векторы.

Пусть точки A = (x₁, y₁, z₁) и B = (x₂, y₂, z₂) лежат на параллельных прямых. Записываем общее уравнение прямой в параметрической форме:

x = x₁ + at, y = y₁ + bt, z = z₁ + ct,

где a, b и c - направляющие векторы прямой.

Так как прямые параллельны, то их направляющие векторы совпадают. Зададим уравнения этих векторов:

a₁ = 1, b₁ = -2, c₁ = 1/3, a₂ = 1, b₂ = -2, c₂ = 1/3.

Таким образом, имеем два уравнения:

x = x₁ + t, y = y₁ - 2t, z = z₁ + (1/3)t,

x = x₂ + t, y = y₂ - 2t, z = z₂ + (1/3)t.

Перепишем в удобной форме:

t = x - x₁, t = (y - y₁) / -2, t = (z - z₁) / (1/3),

t = x - x₂, t = (y - y₂) / -2, t = (z - z₂) / (1/3).

Уравнение плоскости можно получить, найдя уравнение плоскости, проходящей через две параллельных прямых.

Воспользуемся точкой A = (x₁, y₁, z₁) и направляющими векторами pr₁ = (1, -2, 1/3) и pr₂ = (1, -2, 1/3):

(a, b, c) • (x - x₁, y - y₁, z - z₁) = 0,

(1, -2, 1/3) • (x - x₁, y - y₁, z - z₁) = 0,

x - x₁ - 2(y - y₁) + (1/3)(z - z₁) = 0.

Аналогично, для точки B = (x₂, y₂, z₂):

x - x₂ - 2(y - y₂) + (1/3)(z - z₂) = 0.

Соединяя полученные уравнения, получаем:

x - x₁ - 2(y - y₁) + (1/3)(z - z₁) = 0, и x - x₂ - 2(y - y₂) + (1/3)(z - z₂) = 0.

Это уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые x = y + 1/-2 = z - 2/3 и x = y + 2/-2 = z - 3/3.