Question

10. Вычислите площадь прямоугольника с вершинами в точках А(1; 3), В(1; b), C(5; b), D(5; 3), зная, что его периметр равен 21.​

Answer 1

Ответ:

26

Пошаговое объяснение:

AD = 4

AB = |3-b|

P = 21 = 2 * (AD + AB) = 2 * (4 + |3 - b|) = 8 + 2*|3 - b|

21 = 8 + 2*|3 - b|

21 - 8 = 2*|3 - b|

13 = 2 * |3 - b|

13/2 = |3 - b| = AB

S = AD * AB = 4 * 13 / 2 = 26

Answer 2

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, нам нужно знать его длину и ширину. В данном случае прямоугольник ограничен точками A, B, C и D.

Периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон. Из условия задачи известно, что периметр равен 21. Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[2 \cdot AB + 2 \cdot BC = 21.\]

Теперь найдем длины сторон AB и BC, используя координаты точек A, B и C:

\[AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2},\] \[BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}.\]

В данной задаче координаты точек следующие: - \(A(1, 3)\), - \(B(1, b)\), - \(C(5, b)\), - \(D(5, 3)\).

Теперь подставим эти значения в уравнение периметра:

\[2 \cdot \sqrt{(1 - 1)^2 + (b - 3)^2} + 2 \cdot \sqrt{(5 - 1)^2 + (b - b)^2} = 21.\]

Упростим уравнение:

\[2 \cdot \sqrt{0 + (b - 3)^2} + 2 \cdot \sqrt{16} = 21.\]

\[2 \cdot \sqrt{b^2 - 6b + 9} + 4 = 21.\]

\[2 \cdot \sqrt{b^2 - 6b + 9} = 17.\]

Теперь разделим обе стороны уравнения на 2:

\[\sqrt{b^2 - 6b + 9} = \frac{17}{2}.\]

Возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[b^2 - 6b + 9 = \frac{289}{4}.\]

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:

\[4b^2 - 24b + 36 = 289.\]

Приравняем уравнение к нулю:

\[4b^2 - 24b + 36 - 289 = 0.\]

\[4b^2 - 24b - 253 = 0.\]

Теперь решим квадратное уравнение. Используем дискриминант \(D = b^2 - 4ac\):

\[D = (-24)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-253).\]

\[D = 576 + 4048 = 4624.\]

Теперь используем формулу для корней квадратного уравнения:

\[b = \frac{-(-24) \pm \sqrt{4624}}{2 \cdot 4}.\]

\[b = \frac{24 \pm 68}{8}.\]

Таким образом, у нас есть два значения b:

\[b_1 = \frac{24 + 68}{8} = \frac{92}{8} = 11.5,\]

\[b_2 = \frac{24 - 68}{8} = \frac{-44}{8} = -5.5.\]

Так как координаты B и C имеют одинаковую ординату, то b должно быть положительным. Таким образом, \(b = 11.5\).

Теперь, когда у нас есть значение b, мы можем найти длины сторон AB и BC и, следовательно, площадь прямоугольника.