Question

Докажите, что если у тетраэдра два отрезка, идущие из вершин некоторого ребра, в центры вписанных окружностей противолежащих граней, пересекаются, то отрезки, выпущенные из вершин скрещивающегося с ним ребра в центры вписанных окружностей двух других граней, также пересикаются.

Answer 1

Ответ:

Пусть A1 — центр вписанной окружности  ∆ SBC, B1 — центр вписанной окружности  ∆ SAC, AA1 пересекается с  A, A1, B1, B лежат в одной плоскости, значит прямые AB1 и BA1 пересекаются на ребре SC. Пусть точка пересечения этих прямых — p. Так как Ap и Bp — биссектрисы углов A и B, то . Но тогда AC • BS = BC • AS, отсюда , следовательно биссектрисы углов S в  ∆ ASB и C в  ∆ ACB пересекаются на ребре AB, т.е. точки S, C и центры вписанных окружностей  ∆ ASB и  ∆ ACB лежат в одной плоскости. Отсюда следует, что отрезки, соединяющие вершины S и C с центрами вписанных окружностей противолежащих граней, пересекаются.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для докажем этого утверждения, возьмем тетраэдр ABCD и рассмотрим два отрезка, идущих из вершины A в центры вписанных окружностей противолежащих граней.

Пусть первый отрезок соединяет вершину А с центром вписанной окружности грани BCD, а второй отрезок - с центром вписанной окружности грани BDA.

Данное утверждение можно переформулировать следующим образом: Если отрезки, проведенные из вершин некоторого ребра тетраэдра в центры вписанных окружностей противолежащих граней, пересекаются, то и отрезки, выпущенные из вершин скрещивающегося с этим ребром вписанных окружностей двух других граней, также пересекаются.

Пусть отрезки AB и AD пересекаются в точке P.

Так как точка P лежит на отрезке AB, то она должна быть внутри окружности, описанной вокруг треугольника ABD. Аналогично, так как точка P лежит на отрезке AD, то она должна быть внутри окружности, описанной вокруг треугольника ADB.

По свойствам окружностей, центры вписанных окружностей противолежащих граней, M и N, должны лежать на перпендикуляре к стороне AC, проведенному через точку P.

Так как отрезок MP является высотой треугольника ABD, то его пересечение с отрезком AN гарантирует, что отрезки MP и AN пересекаются. Аналогично, отрезки NP и AM также пересекаются.

Таким образом, предоставленные условия гарантируют, что при пересечении двух отрезков, проведенных из вершин ребра в центры вписанных окружностей противолежащих граней, также пересекаются отрезки, выпущенные из вершин скрещивающегося с этим ребром вписанных окружностей двух других граней.

Таким образом, утверждение доказано.