Question

Решите неравенство f'(x) < 0; f(x) = - 24x^2 + 3x^3

Answer 1

Ответ:

х€ (0 ;16/3)

€ - читать" принадлежит"

Пошаговое объяснение:

${f}^{ | } (x) = {( - 24 {x}^{2} + 3 {x}^{3})}^{ | } = - 24 \times 2x + 3 \times 3 {x}^{2} = - 48x + 9 {x}^{2}$

${f}^{ | } (x) < 0 \\ - 48x + 9 {x}^{2} < 0 \\ 3x \times ( - 16 + 3x) < 0$

метод интервалов:

1). 3х=0, х=0

2). -16х+3=0, х=16/3

3).

++++(0)-------(16/3)++++++>х

4). 0<х<16/3

Answer 2

Для решения неравенства $f'(x) < 0$, где $f(x) = -24x^2 + 3x^3$, следует выполнить несколько шагов:

1. Найти производную $f'(x)$.
2. Найти критические точки, где $f'(x) = 0$ или $f'(x)$ не существует.
3. Поставить точки на числовую прямую, разбивая интервалы между ними.
4. Определить знак производной в каждом интервале.
5. Найти решение неравенства.

Давайте начнем с первого шага:

1. Найти производную $f'(x)$: $f'(x) = -48x + 9x^2$

2. Найти критические точки: $-48x + 9x^2 = 0$ $3x(3x - 16) = 0$

Таким образом, критическими точками являются $x = 0$ и $x = \frac{16}{3}$.

3. Поставим эти точки на числовую прямую:

$$\begin{array}{cccc} -\infty & \ldots & 0 & \ldots & \frac{16}{3} & \ldots & +\infty \\ \end{array}$$

4. Определим знак производной в каждом интервале:

• В интервале $(- \infty, 0)$ используем тестовую точку $x = -1$: $f'(-1) = -48(-1) + 9(-1)^2 = 39 > 0$ Значит, производная положительна в этом интервале.

• В интервале $(0, \frac{16}{3})$ используем тестовую точку $x = 1$: $f'(1) = -48(1) + 9(1)^2 = -39 < 0$ Значит, производная отрицательна в этом интервале.

• В интервале $(\frac{16}{3}, +\infty)$ используем тестовую точку $x = 4$: $f'(4) = -48(4) + 9(4)^2 = 144 > 0$ Значит, производная положительна в этом интервале.

5. Теперь, с учетом знаков производной, решим неравенство $f'(x) < 0$:

Ответ: $x \in (0, \frac{16}{3})$.