Question

В сентябре планируется взять кредит в банке на срок 14 лет условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на x% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по август каждого года нужно выплатить часть долга; - в сентябре каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на сентябрь предыдущего года. Найдите x, если известно, что за весь период необходимо выплатить на 90% больше, чем взяли в кредит.

Answer 1

Ответ:

Пусть сумма кредита равна Долг перед банком по состоянию на -е число должен уменьшаться до нуля равномерно:

По условию -го числа каждого месяца долг возрастает на Значит, последовательность размеров долга по состоянию на -е число такова:

Таким образом, выплаты должны быть следующими:

Всего следует выплатить:

По условию млн рублей. Значит, сумма, взятая в кредит, равна млн рублей.

Ответ: млн рублей.

Answer 2

Пусть S - сумма кредита, которую взяли в сентябре, и пусть D - долг в сентябре каждого года. Тогда условие "долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на сентябрь предыдущего года" означает, что каждый сентябрь D = D - D * x, где x - процент, на который долг уменьшается каждый год.

Таким образом, в сентябре первого года D = S - S * x. В сентябре второго года D = (S - S * x) - (S - S * x) * x = S - 2 * S * x + S * x^2. В сентябре третьего года D = (S - 2 * S * x + S * x^2) - (S - 2 * S * x + S * x^2) * x = S - 3 * S * x + 3 * S * x^2 - S * x^3.

Таким образом, в сентябре последнего года D = S - k * S * x + k * S * x^2 - S * x^k, где k = 14 - 1 = 13.

Также, условие "каждый январь долг возрастает на x% по сравнению с концом предыдущего года" означает, что каждый январь D = D + D * (x / 100).

Зная, что за весь период необходимо выплатить на 90% больше, чем взяли в кредит, мы можем записать следующее уравнение:

S + (S - S * x) + (S - 2 * S * x + S * x^2) + ... + (S - k * S * x + k * S * x^2 - S * x^k) = S + 0.9 * S, где k = 14 - 1 = 13.

Раскрывая скобки, получим:

S + S - S * x + S - 2 * S * x + S * x^2 + ... + S - k * S * x + k * S * x^2 - S * x^k = S + 0.9 * S.

Сокращая подобные слагаемые и перегруппируя их, получим:

(14 * S) - (S * x) - (S * x) + (13 * S * x^2) - (S * x^2) + ... + (-S * x^13) = 1.9 * S.

Умножим обе части уравнения на (-1) и перегруппируем слагаемые:

(14 * S) + (-S * x) + (-S * x) + (13 * S * x^2) + (-S * x^2) + ... + (-S * x^13) = -1.9 * S.

Факторизуя общий множитель, получим:

S * (14 + (-x) + (-x) + (13 * x^2) + (-x^2) + ... + (-x^13)) = -1.9 * S.

Сокращаем общий множитель, получим:

14 + (-x) + (-x) + (13 * x^2) + (-x^2) + ... + (-x^13) = -1.9.

Вынесем общий множитель за скобки:

(14 - x - x + 13 * x^2 - x^2 + ... - x^13) = -1.9.

Суммируем слагаемые в скобках и получим:

14 - 2x + 12x^2 - x^2 + ... - x^13 = -1.9.

Упрощаем выражение:

14 - 2x + 12x^2 - x^2 + ... - x^13 = -1.9.

14 - 2x + 12x^2 - x^2 + ... - x^13 + 1.9 = 0.

12x^2 - 2x^1 + ... - x^13 + 15.9 = 0.

Получили уравнение, которое можно решить численными методами.