Question

Найти экстремумы и промежутки монотонность функции f(x)=4x+49/x+3​

Answer 1

6 класс упрожнене 620 страница 128

Answer 2

Для начала найдем производную функции f(x) = 4x + 49/x + 3.

Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

f'(x) = (4 - 49/x^2) / (x + 3)^2.

Чтобы найти точки экстремума, приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение:

(4 - 49/x^2) / (x + 3)^2 = 0.

Так как дробь равна нулю, то числитель должен быть равен нулю:

4 - 49/x^2 = 0.

Решаем уравнение относительно x:

49/x^2 = 4, 49 = 4x^2, x^2 = 49/4, x = ±√(49/4), x = ±7/2.

Таким образом, точки экстремума функции находятся в точках x = -7/2 и x = 7/2.

Теперь проанализируем знак производной в промежутках между точками экстремума и за пределами этих точек.

1. Рассмотрим промежутки (-∞, -7/2) и (-7/2, 7/2):

В промежутке (-∞, -7/2) производная f'(x) < 0, так как при подстановке любого отрицательного числа x в производную получается отрицательная величина.

В промежутке (-7/2, 7/2) производная f'(x) > 0, так как при подстановке любого положительного числа x в производную получается положительная величина.

2. Рассмотрим промежутки (7/2, +∞):

В промежутке (7/2, +∞) производная f'(x) < 0, так как при подстановке любого положительного числа x в производную получается отрицательная величина.

Из анализа знаков производной мы можем сделать выводы о монотонности функции f(x):

- Функция возрастает на промежутке (-∞, -7/2) и (7/2, +∞). - Функция убывает на промежутке (-7/2, 7/2).

Таким образом, экстремумы функции f(x) = 4x + 49/x + 3 находятся в точках x = -7/2 и x = 7/2, а функция монотонно возрастает на промежутках (-∞, -7/2) и (7/2, +∞), и монотонно убывает на промежутке (-7/2, 7/2).