Question

Докажи, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты A(14;3), B(26;7), C(22;19) и D(10;15), является квадратом; найди его площадь. SABCD= .

Answer 1

Дано:   A(14;3);  B(26;7);   C(22;19);   D(10;15).

Решение.

1)  Найдём стороны четырёхугольника ABCD.

$AB=\sqrt{(26-14)^2+(7-3)^2}=\sqrt{12^2+4^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$

$BC=\sqrt{(22-26)^2+(19-7)^2}=\sqrt{(-4)^2+12^2}=\sqrt{16+144}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$

$CD=\sqrt{(10-22)^2+(15-19)^2}=\sqrt{12^2+4^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$

$AD=\sqrt{(10-14)^2+(15-3)^2}=\sqrt{4^2+12^2}=\sqrt{16+144}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$

Стороны четырёхугольника ABCD равны между собой.

2) Найдём диагонали четырёхугольника ABCD.

$AC=\sqrt{(22-14)^2+(19-3)^2}=\sqrt{8^2+16^2}=\sqrt{64+256}=\sqrt{320}=8\sqrt{5}$

$BD=\sqrt{(10-26)^2+(15-7)^2}=\sqrt{(-16)^2+8^2}=\sqrt{256+64}=\sqrt{320}=8\sqrt{5}$

Диагонали четырёхугольника ABCD равны между собой.

3) Если стороны четырёхугольника ABCD равны между собой и его диагонали равны между собой, значит, четырёхугольник ABCD - квадрат.

Доказано.

4) Найдём $S_{ABCD}$  - площадь квадрата ABCD.

$S_{ABCD} =AB^2$

$S_{ABCD} =(4\sqrt{10} )^2=160$

$S_{ABCD} =160$

Ответ:  $S_{ABCD} =160$

Answer 2

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является квадратом, нам нужно проверить несколько условий:

1. Все стороны равны.
2. Все углы прямые (равны 90 градусам).

Сначала проверим условие равенства сторон.

Стороны между точками A и B, B и C, C и D, D и A можно вычислить по формуле расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

$$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

Применяя эту формулу ко всем сторонам, мы получим:

$$AB = \sqrt{(26 - 14)^2 + (7 - 3)^2}$$

$$BC = \sqrt{(22 - 26)^2 + (19 - 7)^2}$$

$$CD = \sqrt{(10 - 22)^2 + (15 - 19)^2}$$

$$DA = \sqrt{(14 - 10)^2 + (3 - 15)^2}$$

Вычислив эти значения, вы увидите, что все стороны равны между собой.

Теперь давайте проверим, являются ли все углы прямыми.

Для этого проверим, являются ли произведения наклонов противоположных сторон равными (-1).

$$\text{Наклон } AB = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$

Произведение наклонов для противоположных сторон AB и BC, BC и CD, CD и DA должны быть равными (-1).

Если оба условия выполняются, то четырёхугольник ABCD является квадратом.

Теперь, когда мы убедились в том, что ABCD - квадрат, мы можем найти его площадь. Площадь квадрата можно вычислить, зная длину одной из сторон:

$$S_{ABCD} = AB^2$$

Вычислите значение $AB$ и возведите его в квадрат, чтобы получить площадь квадрата.