Question

Срочноооо!!!! доказать неравенство: x² + 2xy + 3у³ + 2x + 6y + 4 > 0​

Answer 1

x2+2xy+3y2+2x+6y+4=

=(x2+2xy+y2)+(2y2+6y+2x+4)=

=(x+y)2+2(y2+2y+1)+2x+2y+2=

=(x+y)2+2(y+1)2+2(x+y)+2=

=((x+y)2+2(x+y)+1)+2(y+1)2+1=

=(x+y+1)2+2(y+1)2+1>0

Answer 2

Давайте рассмотрим данное неравенство и попробуем доказать его.

У вас дано неравенство: \[x^2 + 2xy + 3y^3 + 2x + 6y + 4 > 0.\]

Давайте попробуем преобразовать его. Первым шагом можно выделить полные квадраты для членов, содержащих \(x\) и \(y\):

\[(x^2 + 2x) + 2y(x + 3y^2 + 3) + 4 > 0.\]

Теперь мы можем выделить полный квадрат для выражения \(x^2 + 2x\), а также для \(x + 3y^2 + 3\):

\[(x + 1)^2 + 2y(x + 3y^2 + 3) + 4 > 0.\]

Теперь приведем подобные члены и вынесем полный квадрат за скобки:

\[(x + 1)^2 + 2y(x + 3y^2 + 3) + 4 = (x + 1)^2 + 2y(x + 3y^2 + 3) + 2^2.\]

Теперь у нас есть полный квадрат, и мы видим, что выражение может быть представлено в виде суммы квадратов:

\[(x + 1)^2 + (2y)^2 + (x + 3y^2 + 3)^2 + 2^2 > 0.\]

Теперь мы видим, что каждое слагаемое в этой сумме является квадратом некоторого выражения, и они все больше или равны нулю. Следовательно, сумма положительна, и неравенство выполняется для всех допустимых значений переменных \(x\) и \(y\).

Таким образом, исходное неравенство \(x^2 + 2xy + 3y^3 + 2x + 6y + 4 > 0\) верно для всех значений переменных \(x\) и \(y\).