Question

Помогите пожалуйста, задание по математике по теореме Лагранжа с матрицей! Задача: Исследовать на условный экстремум функцию f при данных условиях связи f(x,y)=x+y, 2x^2+y^2=6

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

//////////////////////////////////////////////

Answer 2

Для исследования на условный экстремум функции f(x, y) = x + y при данном условии связи 2x^2 + y^2 = 6, воспользуемся теоремой Лагранжа.

Сначала составим функцию Лагранжа L(x, y, λ) = f(x, y) + λ(g(x, y) - c), где λ - множитель Лагранжа, g(x, y) - функция связи (в данном случае g(x, y) = 2x^2 + y^2, c - значение функции связи (в данном случае c = 6).

Таким образом, L(x, y, λ) = x + y + λ(2x^2 + y^2 - 6).

Далее найдем частные производные функции Лагранжа по каждой переменной:

∂L/∂x = 1 + 4xλ, ∂L/∂y = 1 + 2yλ, ∂L/∂λ = 2x^2 + y^2 - 6.

Приравняем все частные производные к нулю и решим полученную систему уравнений:

1 + 4xλ = 0, 1 + 2yλ = 0, 2x^2 + y^2 - 6 = 0.

Сначала из первого уравнения найдем xλ: xλ = -1/4.

Подставим это значение во второе уравнение: 1 + 2yλ = 1 + 2y(-1/4) = 1 - y/2 = 0. Отсюда y/2 = 1, y = 2.

Подставим найденные значения xλ и y в третье уравнение: 2x^2 + y^2 - 6 = 2(-1/4)^2 + 2^2 - 6 = 1/8 + 4 - 6 = 1/8 - 2/8 = -1/8 = 0. Таким образом, третье уравнение не выполняется.

Итак, система уравнений не имеет решений.

Это означает, что на границе области условий нет экстремумов, а значит, нужно исследовать функцию только внутри области.

Для этого найдем внутренние критические точки функции, решив систему уравнений:

∂f/∂x = 0, ∂f/∂y = 0, 2x^2 + y^2 - 6 = 0.

Исходная функция f(x, y) = x + y.

Находим частные производные:

∂f/∂x = 1, ∂f/∂y = 1, 2x^2 + y^2 - 6 = 0.

Получаем систему уравнений:

1 = 0, 1 = 0, 2x^2 + y^2 - 6 = 0.

Первые два уравнения являются противоречием, поэтому система не имеет решений.

Итак, функция f(x, y) = x + y не имеет ни внутренних критических точек, ни точек на границе области условий. Следовательно, данная функция не имеет условного экстремума при условии 2x^2 + y^2 = 6.