Question

20 баллов! Какое решение уравнения x^2=n^3-1, где и x, и n являются натуральными числами.

Answer 1

x^2-n^3+1=0

Вычислите дискриминант D=0^2-4*1(-n^3+1)

D=4n^3-4

Рассмотрим все возможные случаи :(значок системы):

1 4n^3-4 >0

2 4n^3-4=0

3 4n^3-4<0

получим :

(значок системы):

1 n>1

2 n=0

3 n<1

Вывод

(значок системы):

1 n>1, 2 действительных корня

2 n=0, 1 действительный корень

3 n<1 , действительных корней нет* Смотрите на дискриминант при данных n)

⚫ Regards,

DarkPapillon

Answer 2

Наша задача - найти все натуральные числа x и n, для которых уравнение x^2 = n^3 - 1 выполняется.

Для начала, заметим, что данное уравнение очень похоже на формулу разности кубов, которая гласит: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). Это может навести нас на мысль, что возможно здесь тоже можно применить подобное разложение.

Попробуем применить это разложение для n^3 - 1: n^3 - 1 = (n - 1)(n^2 + n + 1).

Теперь у нас имеется равенство: x^2 = (n - 1)(n^2 + n + 1).

Заметим, что n и (n - 1) являются соседними натуральными числами, то есть они отличаются на 1. Пусть n - 1 = k, где k - натуральное число. Заменим n - 1 на k в уравнении:

x^2 = k(k^2 + k + 1).

Теперь мы имеем уравнение в виде x^2 = k(k^2 + k + 1).

Понятно, что число x^2 должно быть произведением двух натуральных чисел. Поэтому хотелось бы, чтобы k(k^2 + k + 1) также было произведением двух натуральных чисел.

Сейчас мы можем привести рассуждение к следующему: 1. Если k и (k^2 + k + 1) — оба нечетные числа, то их произведение также будет нечетным числом, а это противоречит условию задачи. 2. Если k и (k^2 + k + 1) — четные числа, то можно представить их в виде k = 2a и (k^2 + k + 1) = 2b. 3. Если одно из чисел k и (k^2 + k + 1) — четное, а другое — нечетное, то их произведение будет иметь вид k*2b или b*2k, и один из множителей будет нечетным.

Таким образом, приведенные рассуждения говорят о том, что решение задачи существует только при условии, что k и (k^2 + k + 1) - оба четные числа.

Заметим, что если k — четное число, то k^2 + k + 1 будет нечетным числом. И наоборот, если k — нечетное число, то k^2 + k + 1 будет четным числом. Т.е., уравнение k(k^2 + k + 1) = x^2 не имеет решений в натуральных числах.

Окончательно, решений уравнения x^2 = n^3 - 1, где и x, и n являются натуральными числами, нет.