Question

Сколько решений в целых числах имеет уравнение х2 — у2 = 42? Напомним, что решением уравнения считается пара чисел, то есть сколько пар чисел удовлетворяет уравнению?​

Answer 1

Ответ:

Четыре целых решения (4; 1), (4; -1), (-4; 1) и (-4; -1)

Answer 2

Ответ:

∞

Пошаговое объяснение:

2x - 2y = 42     | : 2

x - y = 21

следовательно ∞

Answer 3

Чтобы определить количество решений уравнения, можно рассмотреть возможные значениия переменных x и y. Обозначим их как x1, x2, y1, y2.

Исходное уравнение имеет вид: х^2 - у^2 = 42.

Выразим x^2 через y^2: х^2 = у^2 + 42.

Подставим значения x1 и x2 в уравнение: x1^2 = y1^2 + 42, x2^2 = y2^2 + 42.

Таким образом, имея пару значений y1 и y2, можно подставить их в уравнение и найти соответствующие значения x1 и x2.

Однако, важно отметить, что уравнение х^2 - у^2 = 42 является разностью квадратов и может быть преобразовано следующим образом: (х - у) * (х + у) = 42.

Таким образом, 42 должно иметь делители, которые могут быть представлены в виде разности их половин. Исследуем делители числа 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.

Для каждого делителя найдем соответствующие значения x и у: 1: (x - y) = 1, (x + y) = 42; Решений нет, так как система несовместна (x + y) не может быть равно 42, если x - y = 1.

2: (x - y) = 2, (x + y) = 21; Решение: x = 11, y = 9.

3: (x - y) = 3, (x + y) = 14; Решение: x = 8, y = 5.

6: (x - y) = 6, (x + y) = 7; Решение: x = 6.5, y = 0.5.

7: (x - y) = 7, (x + y) = 6; Решений нет, так как система несовместна (x - y) не может быть равно 7, если (x + y) = 6.

14: (x - y) = 14, (x + y) = 3; Решений нет, так как система несовместна (x - y) не может быть равно 14, если (x + y) = 3.

21: (x - y) = 21, (x + y) = 2; Решений нет, так как система несовместна (x - y) не может быть равно 21, если (x + y) = 2.

42: (x - y) = 42, (x + y) = 1; Решений нет, так как система несовместна (x - y) не может быть равно 42, если (x + y) = 1.

Таким образом, уравнение x^2 - y^2 = 42 имеет 2 решения в целых числах: (x, y) = (11, 9) и (x, y) = (8, 5).

Answer 4

Давайте рассмотрим уравнение \(x^2 - y^2 = 42\).

Мы можем представить это уравнение в виде разности квадратов: \((x + y)(x - y) = 42\). Теперь давайте рассмотрим все пары целых чисел, произведение которых равно 42.

Пары, дающие произведение 42:

1. \(1 \times 42\) 2. \(2 \times 21\) 3. \(3 \times 14\) 4. \(6 \times 7\) 5. \((-1) \times (-42)\) 6. \((-2) \times (-21)\) 7. \((-3) \times (-14)\) 8. \((-6) \times (-7)\)

Теперь мы можем сформировать системы уравнений:

1. \(x + y = 42, \quad x - y = 1\) 2. \(x + y = 21, \quad x - y = 2\) 3. \(x + y = 14, \quad x - y = 3\) 4. \(x + y = 7, \quad x - y = 6\) 5. \(x + y = -42, \quad x - y = -1\) 6. \(x + y = -21, \quad x - y = -2\) 7. \(x + y = -14, \quad x - y = -3\) 8. \(x + y = -7, \quad x - y = -6\)

Решая каждую из этих систем уравнений, мы найдем значения \(x\) и \(y\). Теперь давайте посмотрим, какие из этих решений удовлетворяют исходному уравнению \(x^2 - y^2 = 42\).

Пары, удовлетворяющие уравнению:

1. \(x = 22, y = 21\) 2. \(x = 11, y = 9\) 3. \(x = 8, y = 5\) 4. \(x = 6, y = 1\) 5. \(x = -21, y = -20\) 6. \(x = -11, y = -9\) 7. \(x = -8, y = -5\) 8. \(x = -6, y = -1\)

Итак, уравнение \(x^2 - y^2 = 42\) имеет в целых числах восемь решений, а именно восемь пар целых чисел, удовлетворяющих уравнению.