Question

N9 8 Четырехзначное число назовем «красивым», если к нему нельзя приписать справа цифру так, чтобы полученное пятизначное число делилось на 11. А сколько существует красивых чисел, больших 4200 и меньших 4900? Число​

Answer 1

Ответ: 64

Пошаговое объяснение:

Пусть N - натуральное четырехзначное число, a - любая приписываемая к нему цифра.

После приписывания к нему цифры a получаем число:

10N + a  = 11N -(N-a)

То есть какой бы ни была цифра a, число N - a не должно делится на 11.

Очевидно, что и само число N не делится на 11, ибо при приписывании к нему нуля оно не должно делится на 11.

Из указанных выше условий ясно, что:

11k + 10 <= N < 11(k+1) , где k - неотрицательное целое число.

Но из данного двойного неравенства cледует, что все такие "красивые" натуральные N удовлетворяют условию:

N = 11k + 10

Посчитаем сколько "красивых" чисел больше чем 4200 и меньше чем 4900:

4200<11k + 10 <4900

4190 <11k <4890

380 + 10/11 < k  < 444 + 6/11

Поскольку k - неотрицательное целое число, то

381<=k<=444

То есть всего таких чисел:

444 - 381 + 1 = 64

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу.

Условие гласит, что четырехзначное число "красивое", если к нему нельзя приписать цифру так, чтобы полученное пятизначное число делилось на 11. Для четырехзначного числа вида ABCD, мы хотим, чтобы (ABCDX) не делилось на 11, где X - это цифра, которую мы добавляем справа.

Для того чтобы число не делилось на 11, разность суммы цифр на четных позициях и суммы цифр на нечетных позициях (включая приписываемую цифру) не должна быть кратной 11.

Сумма цифр четырехзначного числа ABCD равна A + B + C + D. Рассмотрим два случая для суммы цифр на четных и нечетных позициях:

1. Если X приписывается к четной позиции (т.е., к D), то сумма цифр на четных позициях равна A + C, а на нечетных B + D + X. Разность равна (A + C) - (B + D + X). 2. Если X приписывается к нечетной позиции (т.е., к C), то сумма цифр на четных позициях равна B + D, а на нечетных A + C + X. Разность равна (B + D) - (A + C + X).

Для того чтобы число было "красивым", разность в обоих случаях не должна быть кратной 11.

Рассмотрим числа от 4200 до 4900. Поскольку X может быть любой цифрой от 0 до 9, мы можем просто проверить, чтобы ни одна из разностей не делилась на 11.

Пример для числа 4200 (A=4, B=2, C=0, D=0): 1. Добавляем X к D: (4 + 0) - (2 + 0 + X) = 4 - (2 + X), разность не делится на 11. 2. Добавляем X к C: (2 + 0) - (4 + 0 + X) = 2 - (4 + X), разность не делится на 11.

Мы видим, что для числа 4200 оба случая не приводят к кратности 11.

Таким образом, мы можем проверить все числа от 4200 до 4900 таким образом и посчитать, сколько из них являются "красивыми".