Question

Четырёх значное число назовём красивым, если к нему приписать справа цифру так, чтобы полученное пяти значное число делилось на 11. А сколько существует красивых чисел, больших четырёх 4200 и меньших четырёх 4900?

Answer 1

Ответ: 4400

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей.

Чтобы число было красивым, необходимо, чтобы оно делилось на 11, если к нему приписать справа цифру. Давайте обозначим четырехзначное число следующим образом: \(abcd\), где \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) - цифры. Тогда пятизначное число, полученное приписыванием цифры \(e\) справа, будет иметь вид \(abcde\).

Условие деления на 11 означает, что сумма цифр на четных позициях (позиции считаются справа налево, начиная с 0) должна быть равна сумме цифр на нечетных позициях или отличаться на число, кратное 11.

Таким образом, у нас есть два случая:

1. \(a - b + c - d + e \equiv 0 \pmod{11}\) (сумма цифр на четных позициях равна сумме цифр на нечетных позициях).

2. \(a - b + c - d + e \equiv 11 \pmod{11}\) (сумма цифр на четных позициях отличается от суммы цифр на нечетных позициях на 11).

Теперь давайте рассмотрим диапазон от 4200 до 4900 и найдем количество красивых чисел в этом интервале.

1. Сначала рассмотрим случай 1: \(a - b + c - d + e \equiv 0 \pmod{11}\). - Выбор цифры \(a\): 1 вариант (от 4 до 4). - Выбор цифры \(b\): 10 вариантов (от 0 до 9). - Выбор цифры \(c\): 10 вариантов (от 0 до 9). - Выбор цифры \(d\): 10 вариантов (от 0 до 9). - Выбор цифры \(e\): 1 вариант (чтобы сумма была 0). Всего: \(1 \times 10 \times 10 \times 10 \times 1 = 1000\) красивых чисел.

2. Теперь рассмотрим случай 2: \(a - b + c - d + e \equiv 11 \pmod{11}\). - Выбор цифры \(a\): 1 вариант (от 4 до 4). - Выбор цифры \(b\): 10 вариантов (от 0 до 9). - Выбор цифры \(c\): 10 вариантов (от 0 до 9). - Выбор цифры \(d\): 10 вариантов (от 0 до 9). - Выбор цифры \(e\): 1 вариант (чтобы сумма была 11). Всего: \(1 \times 10 \times 10 \times 10 \times 1 = 1000\) красивых чисел.

Таким образом, всего существует \(1000 + 1000 = 2000\) красивых чисел, больших 4200 и меньших 4900.